Сглаживание изображений, обратная операция - Один алгоритм сжатия изображения

Предварительно изображение раскладывается в ортогональную сумму,

F(x)=g(x)+h(x),

Где коэффициенты аппроксимирующей суммы определяются алгоритмом. Функция содержит все особенности изображения, и они ухудшают качество сжимаемости - преобразованием.

Заменим более гладкой функцией

Т. е. решение краевой задачи для уравнения Пуасона:

,

Коэффициент jpeg сжатия будет более высоким. При пересылке сжатой информации передается информация jpeg сжатия ( т. е. результат преобразования Хаффмана для массива оставленных коэффициентов Фурье) и набор коэффициентов разложения функции. Процедура восстановления состоит в следующем.

1) По сжатой информации восстанавливается операцией приближенный прообраз функции.

    2) Вычисляется = 3) Вычисляется аппроксимация функции по коэффициентам разложения и восстанавливается приближенно изображение

.

4. Практическая часть

Приведенная теория используется для сжатия изображений. Изображение размера - это попросту - матрица, элемент (i, j) которой интерпретируется как яркость точки (пикселя) (i, j).

Другими словами, элементы матрицы, изменяющиеся от 0 до 255, интерпретируются как точки с окраской от черной (что соответствует 0) до белой (что соответствует 255) с различными промежуточными степенями серого цвета (возможны и цветные изображения, тогда там будут фигурировать 3 матрицы).

Вместо того, чтобы хранить или передавать все mn элементов матрицы, представляющей изображение, часто бывает предпочтительным сжатие этого изображения, т. е. хранение гораздо меньшего массива чисел, с помощью которых исходный образ все же может быть приближенно восстановлен.

Итак, для реализации jpeg сжатия изображения был разработан следующий алгоритм:

1Шаг (Разбиваем исходное изображение на матрицы 8х8)

B. Берем квадратик, и строим матрицу для каждого пикселя данной катринки

Шаг ( зигзаг )

A. Переводим матрицу 8x8 в 64-элементный вектор при помощи "зигзаг"-сканирования,

B. Преобразуем 64-элементный вектор в кусочно-постоянную функцию на (0, р), вида:

3 Шаг (Разложение Фурье)

Теория рядов Фурье наиболее просто строится в пространстве

Т. е. на множестве функций, для которых сходится интеграл от ее квадрата,

В пространстве определено скалярное произведение,

Если, то говорят, что иортогональны. Эта скалярное произведение порождает норму

Все эта аналогично евклидову пространству R2 на плоскости.

Тригонометрическая система функций

, ,,, ... (1)

Является в пространствеортонормированной : если

Обозначить для краткости эти функции последовательно как

, ,...,то (, )=0 при и равно 1 при.

Основное утверждение состоит в том, что тригонометрическая система (1) является полной системой функций в этом пространстве, т. е. любая функция из может быть как угодно точно аппроксимирована конечными суммами этих функций,

Или ==

Т. е. может быть представлена рядом этих функций и единственным образом. в классической форме это имеет вид

=++ (2)

При этом выполняется единственное равенство

Которое называется равенство Парсеваля ( и является простым аналогом теоремы Пифагора).

Следовательно, имеет место взаимно однозначное соответствие

Между элементами пространства и пространство.

Если умножить левую и правую части равенства (2) скалярно на и на, то получим

)=,

Если четная, то, нечетная, и все, а для получаем

(3)

Функция, определена на может быть разложена в ряд Фурье только по косинусам,

С формулами (3) для коэффициентов.

4 Шаг Оставляем 15 коэффициентов и получаем сжатие

Сжатое изображение :

Алгоритм модификации jpeg имеет следующий вид:

1 ШАГ

Функция картинки может быть разложена на ортогональные слагаемые:

Где - гармоническая функция, - ортогональное дополнение.

Считываем картинку, матрицу этой картинки преобразуем в функцию

Находим систему функций

Находим коэффициенты :

Находим гармоническую составляющую:

Исходное изображение

Гармоническая составляющая

Ортогональное дополнение

2 ШАГ

Заметим, что функция содержит все особенности изображения.

Заменим более гладкой функцией :

Т. е. w(x) решение краевой задачи для уравнения Пуассона:

,

Коэффициент jpeg сжатия w(x) будет более высоким. При пересылке сжатой информации передается информация jpeg сжатия w(x) ( т. е. результат преобразования Хаффмана для массива оставленных коэффициентов Фурье) и набор коэффициентов разложения функции g(x).

3 ШАГ

Процедура восстановления состоит в следующем:

1) По сжатой информации восстанавливается операцией приближенный прообраз функции.

2) Вычисляется =

3) Вычисляется аппроксимация g ?(x)функции g(x) по коэффициентам разложения и восстанавливается приближенно изображение

Похожие статьи




Сглаживание изображений, обратная операция - Один алгоритм сжатия изображения

Предыдущая | Следующая