Построение алгоритма решения, Обзор классического подхода - Проблемы конструирования устойчивой системы автоматического управления

Обзор классического подхода

Приведем теорему для формирования линейного закона управления с обратной связью в пространстве состояний [3]:

Дан объект, описываемый (2.1), (2.2). Пусть пара матриц управляема, Наблюдаема, невырожденна, а матрица интенсивностей положительно определенная. Тогда закон управления (2.3) доставляет минимум показателю

(2.4)

Матрица коэффициентов усиления в обратной связи K находится из соотношений (2.5)

А матрица коэффициентов в устройстве оценивания находится из

(2.6)

- положительно определенные решения соответствующих уравнений.

Рассмотрим классический подход к решению поставленной в 2.1.2 задаче. Требуется обеспечить минимум ошибки воспроизведения задающего воздействия. Пусть описание (2.1) уже является расширенным, т. е. учитывает формирующие фильтры. Пусть, - координата вектора отвечает за задающее воздействие, - наблюдаемый выход. Тогда для решения задачи можно использовать следующий функционал:

(2.7)

Но, как показывает практика (в Главе 3 будут приведены примеры), если у матрицы из (2.1) есть собственные значения на мнимой оси, то полученный с помощью критерия качества (2.7) линейный регулятор не будет обладать стабилизирующими качествами.

Перейдем теперь к рассмотрению классического подхода при решении задачи в пространстве операторов. Суть его заключается в отыскании матричной передаточной функции, , обеспечивающий минимум ошибки воспроизведения на выходе системы задающего воздействия. По найденной и известной определяется искомая матрица. На основе риc. 1 найдем. Для этого запишем уравнения относительно входа-выхода:

Отсюда

Или для одномерного случая:

(2.8)

Передаточной функции соответствует в пространстве состояний система наблюдателя (2.3).

Т. к. задача конструируемого датчика - отфильтровать полезный сигнала от помехи, то нам надо оценить дисперсию ошибки воспроизведения сигнала и построить на данной оценке функционал.

Для этого обратимся к (1.9). Для использования этой оценки в функционале нам необходимо найти.

С учетом постановки задачи:

И того, что сигналы полагаются некоррелированными, получим:

Где.

- спектральная матрица векторного сигнала.

Тогда сам функционал запишется как:

(2.9)

Здесь первая составляющая функционала оценивает качество слежения, вторая - мощность управления.

При построении по критерию (2.9) регулятора для объекта управления с полюсами на мнимой оси было выявлено (глава 3), что сконструированная система оказывается неустойчивой - передаточная функция компенсировала полюса объекта управление. Как следствие характеристический полином систем оказался неустойчивым.

Напоследок заметим, что критерий (2.7) адекватен (2.9) в том смысле, что полученные с помощью них регуляторы будут эквивалентны.

Похожие статьи




Построение алгоритма решения, Обзор классического подхода - Проблемы конструирования устойчивой системы автоматического управления

Предыдущая | Следующая