Теорема Котельникова - Системы цифрового управления

В 1933 году В. А. Котельниковым доказана теорема отсчетов, имеющая важное значение в теории связи: непрерывный сигнал с ограниченным спектром можно точно восстановить (интерполировать) по его отсчетам, взятым через интервалы

,

Где - верхняя частота спектра сигнала.

В соответствии с этой теоремой сигнал можно представить рядом Котельникова:

. (1.21)

Таким образом, сигнал, можно абсолютно точно представить с помощью последовательности отсчетов, заданных в дискретных точках (рис.1.16).

Функции

(1.22)

Образуют ортогональный базис в пространстве сигналов, характеризующихся ограниченным спектром:

При. (1.23)

Обычно для реальных сигналов можно указать диапазон частот, в пределах которого сосредоточена основная часть его энергии и которым определяется ширина спектра сигнала. В ряде случаев спектр сознательно сокращают. Это обусловлено тем, что аппаратура и линия связи должны иметь минимальную полосу частот. Сокращение спектра выполняют, исходя из допустимых искажений сигнала. Например, при телефонной связи хорошая разборчивость речи и узнаваемость абонента обеспечиваются при передаче сигналов в полосе частот. Увеличение приводит к неоправданному усложнению аппаратуры и повышению затрат. Для передачи телевизионного изображения при стандарте в 625 строк полоса частот, занимаемая сигналом, составляет около 6 МГц.

Из вышесказанного следует, что процессы с ограниченными спектрами могут служить адекватными математическими моделями многих реальных сигналов.

Функция вида

Называется функцией отсчетов (рис.1.17).

Она характеризуется следующими свойствами. Если, функция отсчетов имеет максимальное значение при, а в моменты времени

()

Она обращается в нуль; ширина главного лепестка функции отсчетов на нулевом уровне равна, поэтому минимальная длительность импульса, который может существовать на выходе линейной системы с полосой пропускания, равна ; функции отсчетов ортогональны на бесконечном интервале времени.

На основании теоремы Котельникова может быть предложен следующий способ дискретной передачи непрерывных сигналов:

Для передачи непрерывного сигнала по каналу связи с полосой пропускания определим мгновенные значения сигнала в дискретные моменты времени

, ().

После этого передадим эти значения по каналу связи каким - либо из возможных способов и восстановим на приемной стороне переданные отсчеты. Для преобразования потока импульсных отсчетов в непрерывную функцию пропустим их через идеальный ФНЧ с граничной частотой.

Можно показать, что энергия сигнала находится по формуле [6, 32]:

. (1.24)

Для сигнала, ограниченного во времени, выражение (1.24) преобразуется к виду:

. (1.25)

Выражение (1.25) широко применяется в теории помехоустойчивого приема сигналов, но является приближенным, т. к. сигналы не могут быть одновременно ограничены по частоте и времени.

Похожие статьи




Теорема Котельникова - Системы цифрового управления

Предыдущая | Следующая