Разложение Фурье, основные свойства - Один алгоритм сжатия изображения

Теория рядов Фурье наиболее просто строится в пространстве т. е. на множестве функций, для которых сходится интеграл от ее квадрата,

В пространстве определено скалярное произведение,

Если, то говорят, что иортогональны. Эта скалярное произведение порождает норму

Все эта аналогично евклидову пространству R2 на плоскости.

Тригонометрическая система функций

, ,,, ... (2.1.1)

Является в пространствеортонормированной : если обозначить для краткости эти функции последовательно как,,...,то(,)=0 при и равно 1 при.

Основное утверждение состоит в том, что тригонометрическая система (2.1.1) является полной системой функций в этом пространстве, т. е. любая функция из может быть как угодно точно аппроксимирована конечными суммами этих функций,

Или ==

Т. е. может быть представлена рядом этих функций и единственным образом. в классической форме это имеет вид

=++ (2.1.2)

При этом выполняется единственное равенство

Которое называется равенство Парсеваля ( и является простым аналогом теоремы Пифагора).

Следовательно, имеет место взаимно однозначное соответствие

Между элементами пространства и пространство.

Если умножить левую и правую части равенства (2.1.2) скалярно на и на, то получим

)=,

Если четная, то, нечетная, и все, а для получаем

(2.1.3)

Функция, определена на может быть разложена в ряд Фурье только по косинусам,

С формулами (2.1.3) для коэффициентов.

Похожие статьи




Разложение Фурье, основные свойства - Один алгоритм сжатия изображения

Предыдущая | Следующая