УЗЛОВЫЕ УРАВНЕНИЯ - Применение узловых уравнений для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем

Матричный узловой цепь

Недостатком метода расчета, основанного на непосредственном решении уравнений электрической цепи, является необходимость оперировать с большим числом уравнений. Число неизвестных в такой системе легко сократить, исключая с помощью компонентных уравнений либо токи, либо напряжения ветвей, т. е. выбирая в качестве базиса одну из переменных для каждой ветви. Однако и это приводит к необходимости решать систему уравнений, число которых равно числу ветвей.

Часто в виде подобного базиса используют Узловые напряжения -- напряжения узлов цепи относительно одного узла, принятого в качестве опорного. Для связной цепи с Q узлами число таких напряжений равно Q - 1. Основой для формирования узловых уравнений являются уравнения первого закона Кирхгофа.

Для вывода узлового уравнения рассмотрим K-й узел цепи (рис. 1.1), соединенный с узлами 0, 1 - 3 ветвями, содержащими проводимости G = 1/R, источники ЭДС и тока.

Рис. 1.1

При выборе направлений токов, указанных на рис. 1.1, уравнение первого закона Кирхгофа для K-го узла имеет вид

Выразим токи в ветвях, присоединенных к узлу, через узловые напряжения U10, U20, U30 И проводимости ветвей G:

Подстановка и группировка членов приводят уравнение первого закона к виду

(1.1)

В общем виде узловое уравнение для K-го узла можно записать, используя двойную индексацию проводимостей, принятую для линейных алгебраических систем:

GK1U10 + GK2U20 + ...+ GKkUK0 + ... = JKУ.

Как следует из рассмотренного примера, коэффициент GKk -- Собственная проводимость k-го узла -- равен сумме проводимостей всех ветвей, присоединенных к данному узлу. Коэффициент GKm -- Общая Проводимость узлов k И M -- представляет взятую со знаком "минус" сумму проводимостей ветвей, соединяющих непосредственно узлы K и M. Правая часть узлового уравнения -- Узловой Ток JKУ -- равен алгебраической сумме источников тока, присоединенных к данному узлу. Источники ЭДС E в составных ветвях, включенные последовательно с проводимостями G, учитываются в узловых токах в виде произведения EG рассматриваемой составной ветви (пока предполагается отсутствие ветвей с идеальными источниками ЭДС, для которых G = ?). Слагаемые узлового тока берутся со знаком "плюс" для источников, направленных к данному узлу, и со знаком "минус" -- при противоположном направлении.

Таким образом, для цепи с Q узлами имеем Q - 1 узловое уравнение с Q - 1 неизвестными -- линейную алгебраическую систему, общая матричная запись которой имеет вид

Где GУ -- квадратная матрица узловых проводимостей; U0 -- вектор узловых напряжений; JУ -- вектор узловых токов:

Матрица узловых проводимостей пассивной цепи является симметричной -- общие проводимости равны друг другу GMk = GKm по смыслу их определения.

Похожие статьи




УЗЛОВЫЕ УРАВНЕНИЯ - Применение узловых уравнений для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем

Предыдущая | Следующая