Задание для исследования - Численное нахождение корня уравнения методом Рунге-Кутта

Исследовать решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты.

Подробное описание

Метод этот пригоден для решения как одиночных дифференциальных уравнений первого порядка, так и систем уравнений первого порядка.

Пусть есть уравнение вида

Y'=f (x, y)

С начальным условием

Y(x0)=y0

Предполагается, что отрезок [A, b], на котором будет находиться решение этого уравнения, разбит на N равных частей системой точек (сеткой).

XI=x0+ih (i=0,1.....n), x0=a, xN=b,

На этой сетке следует найти "развитие" процесса Y(x), т. е. решить так называемую задачу Коши.

Применить этот метод для следующей задачи:

Тело с начальной массой M движется под действием постоянной силы F, При этом масса тела уменьшается со скоростью M'. Сопротивление воздуха пропорционально скорости тела, коэффициент пропорциональности K задан. Соответствующее дифференциальное уравнение, описывающее скорость перемещения тела V(t) Имеет вид:

Метод решения

Обозначим через YI приближенное значение искомого решения в точке XI. По методу Рунге-Кутты вычисление приближенного значения YI+1 В следующей точке XI+1=xI+h производится по формулам

YI+1=yI+?YI,

?YI,=(K1I+ K2I +K3I + K4I)

Где

K1I =hf(xI, yI),

K2I = hf(xI+h/2, yI+ K1I/2),

K3I= hf(xI+h/2, yI+ K2I/2)

K4I= hf(xI+h/2, yI+ K3I/2)

Задача:

Фактически решение этой задачи приближенно описывает движение ракеты, расходующей в полете топливо.

Допустим, что V(0)=0.

Тогда уравнение

Имеет следующее аналитическое решение:

.

Численное решение этого уравнения вычисляется и сравнивается со значениями, полученными в результате работы программы.

Похожие статьи




Задание для исследования - Численное нахождение корня уравнения методом Рунге-Кутта

Предыдущая | Следующая