Условия Фукса - Условия Фукса и теорема Пенлеве

Интегралы уравнения вида

(1)

Не имеют критических подвижных точек.

Если в раскрытом виде уравнение (1)

(2)

И если содержит w, то интегралы уравнения (2) имеют подвижные критические точки.

Уравнения с неподвижными критическими точками рассматриваемого типа имеют вид

,

Причем все суть многочлены относительно w степени не выше 2k.

Переходим теперь к изучению разложения. Пусть разложение имеет вид

+..., (3)

Где, причем здесь. Сделаем замену, откуда. Подставляя в уравнение (3), получим для W уравнение

. (4)

Рассмотрим сначала случай, когда не равно тождественно нулю. В этом случае для интеграла уравнения (4), обращающегося в нуль при, имеем следующее разложение:

+..., (5)

Причем, если.

Подставляя разложение (5) в (4) и затем в уравнение (3), получим

Причем степень дальнейших членов разложения выше. Отсюда, интегрируя, получим, что если k не делится без остатка на m, то w имеет в критическую алгебраическую точку.

Итак, для отсутствия критических подвижных точек необходимо, чтобы было целое число; подобным же образом докажем, что и все следующие члены правой части уравнения (3) содержат в степенях с целыми показателями.

В случае разложений вида (3) с дробными показателями у при, не равном тождественно нулю, интегралы уравнения (1) имеют подвижные критические точки.

Следовательно, для того, чтобы уравнение (1) было уравнением с неподвижными критическими точками, необходимо, чтобы

. (6)

Но есть результат исключения w' из уравнений

То есть функция, определяемая из дискриминантного уравнения D(w, z)=0.

Уравнение (6) показывает, что в рассматриваемом случае удовлетворяет уравнению (1).

Интегралы уравнения, которые получаются из дискриминантного уравнения, как известно, называются особыми интегралами. Отсюда получаем следующий важный результат.

Если уравнение вида (1) есть уравнение с неподвижными критическими точками, то все решения дискриминантного уравнения суть особые интегралы.

Если, то уравнение (4) принимает вид

(7)

Если, то уравнение (7), а также и уравнение (3) имеют голоморфный интеграл, определяемый начальным значением при.

Рассмотрим случай, когда. В этом случае уравнение (7) можно написать в виде

(8)

Фукса пенлеве теорема

Интеграл уравнения (13), обращающийся в нуль при, имеет вид

(9)

Причем.

Отсюда получим для правой части уравнения (3) разложение вида

, (10)

Причем коэффициенты зависят от и при произвольном отличны от нуля.

Интегрируя уравнение (10), получим, что w имеет в критическую алгебраическую точку. Итак, для отсутствия критических подвижных точек необходимо, чтобы.

Сопоставляя вместе все найденные выше результаты, получим следующую теорему, доказанную впервые Фуксом.

Для того, чтобы уравнение вида

,

Где (w, z) - многочлены относительно w, не имело критических подвижных точек, должны выполняться следующие условия:

    1) (w, z) не должно содержать w и является, следовательно, функцией только от z; таким образом, деля обе части уравнения на, можно его всегда привести к такому виду, что ; 2) степень относительно w не должна превосходить 2k; 3) решения дискриминантного уравнения D(w, z)=0 должны являться интегралами данного уравнения; 4) если разложение w' в области решения дискриминантного уравнения имеет вид

То должно выполняться неравенство.

Заметим, что теорема Фукса дает условия, необходимые и достаточные для отсутствия в интегралах критических алгебраических особых точек.

Похожие статьи




Условия Фукса - Условия Фукса и теорема Пенлеве

Предыдущая | Следующая