Доказательство теоремы - Об одной теореме теории чисел
Доказательство теоремы проводится отдельно для случая, когда (т. е. показатель степени в равенстве (2) - НЕЧЕТНОЕ число) и когда (т. е. показатель степени - ЧЕТНОЕ число).
Рассмотрим случай НЕЧЕТНОГО показателя степени в равенстве (2).
Пусть и для чисел выполняется равенство (2).
Тогда можно записать:
или
(7)
Разложим левую часть равенства (7) на сомножители:
(8)
Пусть
,
Где и, тогда можно разложить числа и на сомножители:
(8.1)
Для сомножителей справедливы соотношения:
- из условия ;
, т. к., если допустить, что, то получаем: и, т. е. , что противоречит свойствам чисел (см. пункт 4.2) .
, т. к. ,если допустить, что, то.
Но при получаем, что противоречит условиям (см. пункт 4.2), а при (т. е. равно 2,3,...) получаем, что, и более, что противоречит условию (см. пункт 4.2) .
. Обозначим полином в равенстве (8) через и подставим для их выражения из равенств (8.1), тогда получаем:
,
И, сократив на, получаем:
(9)
Если допустить, что, то из равенства (9) получаем
.
Но так как
,
Это равенство невыполнимо, и, следовательно, .
Поскольку в равенстве (9) , то согласно лемме 2 (см. пункт 4.3) получаем:
и, где.
И тогда справедливо равенство:
(9.1)
Из равенства (7) переносом слагаемого в правую часть получаем равенство, преобразуем его, разложив на сомножители правую часть:
(10)
Пусть, где и, тогда можно разложить числа ина сомножители: (10.1)
Для сомножителей справедливы соотношения:
- из условия ;
, т. к. ,если допустить, что, то.
Но из свойств чисел (см. пункт 4.2).
Поэтому. Отсюда также следует, что.
, так как.
. Обозначим полином в равенстве (10) через и подставим для их выражения из равенств (10.1), тогда получаем: , и, сократив на, получаем:
(11)
Если допустить, что, то из равенства (11) получаем.
Но так как
,
Это равенство невыполнимо, и, следовательно, .
Поскольку в равенстве (11) , то согласно лемме 2 (см. пункт 4.3) получаем:
и, где.
И тогда справедливо равенство:
(11.1)
Из равенства (7) переносом слагаемого в правую часть получаем равенство
,
Преобразуем его, разложив на сомножители правую часть:
(12)
Пусть
,
Где и, тогда можно разложить числа и на сомножители:
(12.1)
Для сомножителей справедливы соотношения:
- из условия ;
, т. к. ,если допустить, что, то.
Но из свойств чисел (см. пункт 4.2).
Поэтому. Отсюда также следует, что.
, так как.
. Обозначим полином в равенстве (12) через и подставим для их выражения из равенств (12.1), тогда получаем: , и, сократив на,
Получаем:
(13)
Если допустить, что, то из равенства (13) получаем.
Но так как, это равенство невыполнимо, и, следовательно, .
Поскольку в равенстве (13) , то согласно лемме 2 (см. пункт 4.3) получаем:
и, где.
И тогда справедливо равенство:
(13.1)
Рассмотрим систему равенств, полученных из равенства (7) в пунктах 5.1, 5.2 и 5.3:
(5.4.1)
(5.4.2)
(5.4.3)
В этих равенствах надо учитывать, что, что вытекает по условию из свойств чисел (см. пункт 4.1).
Сложив равенства (5.4.1) и (5.4.2), получаем: (5.4.4)
Сложив равенства (5.4.1) и (5.4.3), получаем: (5.4.5)
Вычитая равенство (5.4.3) из (5.4.2), получаем:
(5.4.6)
Преобразуем равенство (5.4.4) переносом членов и :
,
Подставим значения и из равенств (10.1) и (8.1), получаем:
И вынесем и за скобки:
(5.4.7)
Поскольку (так как ) по лемме 2 (см. пункт 4.3) из равенства (5.4.7) получаем:
(5.4.7.1)
(5.4.7.2)
Преобразуем равенство (5.4.5) переносом членов и :
,
Подставим значения и из равенств (8.1) и (12.1), получаем:
И вынесем и за скобки:
(5.4.8)
Поскольку (так как ) по лемме 2 (см. пункт 4.3) из равенства (5.4.8) получаем:
(5.4.8.1)
(5.4.8.2)
Преобразуем равенство (5.4.6) переносом членов и :
,
Подставим значения и из равенств (10.1) и (12.1), получаем:
И вынесем и за скобки:
(5.4.9)
Поскольку (так как ) по лемме 2 (см. пункт 4.3) из равенства (5.4.9) получаем:
(5.4.9.1)
(5.4.9.2)
Из сравнения членов полученных равенств (5.4.7.1; 5.4.7.2; 5.4.8.1; 5.4.8.2; 5.4.9.1 и 5.4.9.2) получаем противоречивый результат (поскольку числа ):
; ;
Противоречивый результат получен из исходного равенства (2) с помощью преобразований, не влияющих на достоверность получаемых промежуточных равенств. Это означает, что не существует чисел, удовлетворяющих условию теоремы, для которых при НЕЧЕТНОМ значении показателя степени выполняется равенство (2).
Рассмотрим случай ЧЕТНОГО показателя степени в равенстве (2).
Пусть и для чисел выполняется равенство (2).
Рассмотрим разложение бинома :
(14)
Здесь - биномиальные коэффициенты, которые в других обозначениях записываются: .
Заменив сумму на и вынеся за скобки произведение, получаем из равенства (14):
(15)
Пусть, где и, тогда, используя равенства (8.1), можно представить равенство (15) в виде:
И, если перенести в левую часть и вынести за скобки, получаем:
(16)
Где.
Согласно лемме 3 (см. пункт 5.5.1) полином можно преобразовать в вид:
Тогда из равенства (16), подставив выражение для и заменив в нем, получаем:
(17)
Здесь выполняются следующие условия:
, так как и ;
, так как,
Где первый член полинома имеет
,
А второй член полинома имеет
,
Поскольку и (так как (см. пункт 5.1.4) и - НЕЧЕТНОЕ число (см. пункт 4.2.4)).
Поскольку
и,
Равенство (16) не может быть выполнено.
Противоречивый результат получен из исходного равенства (2) с помощью преобразований, не влияющих на достоверность получаемых промежуточных равенств. Следовательно, не существует чисел, удовлетворяющих условию теоремы, для которых при ЧЕТНОМ значении показателя степени выполняется равенство (2).
Теорема доказана.
Лемма 3
Условие: Полином из равенства (16) можно представить в виде:
или
, где
Доказательство: Проведем преобразование, состоящее в выделении числа последовательно из каждой пары членов полинома :
И так далее.
В результате получаем выражение вида:
или
Здесь коэффициенты полинома выражаются через биномиальные коэффициенты следующим образом:
...........
Используя свойство биномиальных коэффициентов (суммы четных и нечетных биномиальных коэффициентов равны) т. е. и, учитывая, что коэффициенты =1 и =1 не используются при определении значений, можно получить, что. Следовательно, Лемма 3 доказана.
Похожие статьи
-
В данной работе доказывается методами элементарной математики "большая" или "последняя" теорема Ферма. Некоторая, излишняя в обычных случаях, подробность...
-
Следствия теоремы, Послесловие к доказательству - Об одной теореме теории чисел
Не существует ЦЕЛЫХ чисел, для которых выполняется равенство (1). При четных значениях показателя степени уравнение вида (1) идентично как для...
-
Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной. . Доказательство. f(x)=с, докажем, что . Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое...
-
Доказательство теоремы ошибочно - Великая теорема Ферма
Едва Уайлс закончил свою лекцию в Кембридже, как комиссию Вольфскеля известили о том, что Великая теорема Ферма, наконец, доказана. Премия не могла быть...
-
Принцип сходимости, Предел функции. Теорема Гейне - Свойства функций
Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга. Лемма Кантора ....
-
Пусть - один и тот же опыт повторяется n-раз, не зависимо от результатов; в любом опыте может наступить событие А с вероятностью p, либо событие A с...
-
Решение: Коэффициент использования (количество заявок, поступающих за время использования одной заявки) A) Вероятность того, что оба канала свободны: B)...
-
Доказательство теоремы Ферма Уважаемый Григорий Яковлевич! Обращается к Вам Черепанов Николай Михайлович, математик из Барнаула. В 2004 году, я...
-
Вероятность - математическая оценка возможности появления это события в результате опыта - обозначается Р (А).- при условии :0 ?Р (А)?1, Р (?...
-
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания...
-
В школьной алгебре одночленом от некоторой буквы x называется алгебраическое выражение вида, где a - некоторое число, x - буква, m - целое...
-
Синтаксис и семантика. Теорема Райса - Рекурсивные функции
Попробуем теперь проанализировать круг проблем, неразрешимость которых доказана в предыдущем пункте. Общим для них является то, что по кодам, т. е....
-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕТОДА ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА И ЧИСЛА ФАКТОРОВ - Многомерный статистический анализ
Определение метода факторного анализа. Различные методы факторного анализа различаются в зависимости от подходов, которые используются для выделения...
-
Пусть по окружности в некотором порядке расположены N единиц и нулей (исходное состояние S 0). Некоторые нули разрешается заменять на единицы в...
-
Теория алгоритмов. Основные результаты, Программы как данные - Рекурсивные функции
Вместо предисловия . Сверх-идеей любой научной теории можно считать перевод знания из сферы подсознательного, интуитивногов осознанную, точную и...
-
Моделирование в условиях противодействия, игровые модели - Основы теории систем и системного анализа
Как уже неоднократно отмечалось, системный анализ невозможен без учета взаимодействий данной системы с внешней средой. Ранее упоминалась необходимость...
-
Модели линейного программирования. Основные определения Еще одним классом задач экономико-математического моделирования являются задачи линейного...
-
Моделирование системы в условиях неопределенности - Основы теории систем и системного анализа
Как уже отмечалось в первой части нашего курса, в большинстве реальных больших систем не обойтись без учета "состояний природы" -- воздействий...
-
Элементы теории процентов - Финансово-математические основы инвестиционного проектирования
В процессе анализа инвестиционных решений принято использовать сложные проценты. Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в...
-
Ценностная окраска ситуационных образов, возникающих в сознании членов человеческого сообщества, является основным движущим стимулом, формирующим их...
-
Информационно-статистическая теория голосований - Системная революция и принцип дуального управления
Социально-экономические системы относятся к классу больших систем. Это - системы, состоящие из достаточно большого числа примерно равносущественных для...
-
Средняя геометрическая - Общая теория статистики
Если значения осредняемого признака существенно отстоят друг от друга или заданы коэффициентами (темпы роста, индексы цен), то для расчета применяют...
-
В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах...
-
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Предположим, что в условиях схемы Бернулли проводится испытаний, в результате каждого из которых с вероятностью () происходит событие. Интегральная...
-
Ответ: y=f(kx) получается из Графика функции f(x) сжатием его вдоль оси ох в k раз, если k>1 и растяжением в 1 деленную на k раз, если k>0 но меньше 1....
-
Влияние семейного дохода на количество автомобилей, приходящееся на одного человека
Как показывает опыт изучения вопроса закономерностей формирования уровня автомобилизации, зарубежные ученые большое внимание уделяют зависимости...
-
Условия Фукса - Условия Фукса и теорема Пенлеве
Интегралы уравнения вида (1) Не имеют критических подвижных точек. Если в раскрытом виде уравнение (1) (2) И если содержит w, то интегралы уравнения (2)...
-
Учения о числе в школе Пифагора - История развития математики
Как известно, Пифагор утверждал, что людей окружают разные предметы. Но все их многообразие не может не иметь под собой единой мировой основы....
-
Теория массового обслуживания - Применение теории массового обслуживания
Теория массового обслуживания - вероятностные модели реальных систем обслуживания населения, при которых время обслуживания будет минимальным, а качество...
-
Сначала обсудим один из широко применяемых методов кластер-анализа - с метода k-средних. Он предназначен для разбиения исходного множества элементов...
-
Прогностическая сила - Базовые результаты математической теории классификации
С целью поиска приемлемого показателя качества диагностики рассмотрим восходящую к Р. Фишеру [20] широко известную параметрическую вероятностную модель...
-
Вопросы по теории вероятностей - Случайные величины
Основные понятия теории вероятностей: события, вероятность события, частота события, случайная величина. Сумма и произведение событий, теоремы сложения и...
-
Средняя арифметическая Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в...
-
Если функция f(x) периодична с периодом Т, то по значениям этой функции на любом отрезке длины Т можно восстановить ее значения на всей числовой прямой....
-
Логарифм алгебраический угол число Формулы двойного аргумента Sin 2x=2sin xЧcos x Cos 2x=cosІx-sinІx Cos 2x=1-2sinІx Cos 2x=2cosІx-1 Обратные...
-
Данная контрольная работа состоит из двух частей - теоретической и практической. В теоретической части будет подробно рассмотрена такая важная...
-
Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами. Четность и...
-
Математическим ожиданием случайной величины х (М[x])называется средне взвешенно значение случайной величины причем в качестве весов выступают вероятности...
-
Опытом называется всякое осуществление определенных условий и действий, при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Опыты можно характеризовать...
-
Евклидовы кольца - Евклидовость в математике
Кольцо целостности Е называется евклидовым, если на множестве Е можно определить функцию е, значение которой является целыми неотрицательными числами,...
Доказательство теоремы - Об одной теореме теории чисел