Доказательство теоремы - Об одной теореме теории чисел

Доказательство теоремы проводится отдельно для случая, когда (т. е. показатель степени в равенстве (2) - НЕЧЕТНОЕ число) и когда (т. е. показатель степени - ЧЕТНОЕ число).

Рассмотрим случай НЕЧЕТНОГО показателя степени в равенстве (2).

Пусть и для чисел выполняется равенство (2).

Тогда можно записать:

или

(7)

Разложим левую часть равенства (7) на сомножители:

(8)

Пусть

,

Где и, тогда можно разложить числа и на сомножители:

(8.1)

Для сомножителей справедливы соотношения:

- из условия ;

, т. к., если допустить, что, то получаем: и, т. е. , что противоречит свойствам чисел (см. пункт 4.2) .

, т. к. ,если допустить, что, то.

Но при получаем, что противоречит условиям (см. пункт 4.2), а при (т. е. равно 2,3,...) получаем, что, и более, что противоречит условию (см. пункт 4.2) .

. Обозначим полином в равенстве (8) через и подставим для их выражения из равенств (8.1), тогда получаем:

,

И, сократив на, получаем:

(9)

Если допустить, что, то из равенства (9) получаем

.

Но так как

,

Это равенство невыполнимо, и, следовательно, .

Поскольку в равенстве (9) , то согласно лемме 2 (см. пункт 4.3) получаем:

и, где.

И тогда справедливо равенство:

(9.1)

Из равенства (7) переносом слагаемого в правую часть получаем равенство, преобразуем его, разложив на сомножители правую часть:

(10)

Пусть, где и, тогда можно разложить числа ина сомножители: (10.1)

Для сомножителей справедливы соотношения:

- из условия ;

, т. к. ,если допустить, что, то.

Но из свойств чисел (см. пункт 4.2).

Поэтому. Отсюда также следует, что.

, так как.

. Обозначим полином в равенстве (10) через и подставим для их выражения из равенств (10.1), тогда получаем: , и, сократив на, получаем:

(11)

Если допустить, что, то из равенства (11) получаем.

Но так как

,

Это равенство невыполнимо, и, следовательно, .

Поскольку в равенстве (11) , то согласно лемме 2 (см. пункт 4.3) получаем:

и, где.

И тогда справедливо равенство:

(11.1)

Из равенства (7) переносом слагаемого в правую часть получаем равенство

,

Преобразуем его, разложив на сомножители правую часть:

(12)

Пусть

,

Где и, тогда можно разложить числа и на сомножители:

(12.1)

Для сомножителей справедливы соотношения:

- из условия ;

, т. к. ,если допустить, что, то.

Но из свойств чисел (см. пункт 4.2).

Поэтому. Отсюда также следует, что.

, так как.

. Обозначим полином в равенстве (12) через и подставим для их выражения из равенств (12.1), тогда получаем: , и, сократив на,

Получаем:

(13)

Если допустить, что, то из равенства (13) получаем.

Но так как, это равенство невыполнимо, и, следовательно, .

Поскольку в равенстве (13) , то согласно лемме 2 (см. пункт 4.3) получаем:

и, где.

И тогда справедливо равенство:

(13.1)

Рассмотрим систему равенств, полученных из равенства (7) в пунктах 5.1, 5.2 и 5.3:

(5.4.1)

(5.4.2)

(5.4.3)

В этих равенствах надо учитывать, что, что вытекает по условию из свойств чисел (см. пункт 4.1).

Сложив равенства (5.4.1) и (5.4.2), получаем: (5.4.4)

Сложив равенства (5.4.1) и (5.4.3), получаем: (5.4.5)

Вычитая равенство (5.4.3) из (5.4.2), получаем:

(5.4.6)

Преобразуем равенство (5.4.4) переносом членов и :

,

Подставим значения и из равенств (10.1) и (8.1), получаем:

И вынесем и за скобки:

(5.4.7)

Поскольку (так как ) по лемме 2 (см. пункт 4.3) из равенства (5.4.7) получаем:

(5.4.7.1)

(5.4.7.2)

Преобразуем равенство (5.4.5) переносом членов и :

,

Подставим значения и из равенств (8.1) и (12.1), получаем:

И вынесем и за скобки:

(5.4.8)

Поскольку (так как ) по лемме 2 (см. пункт 4.3) из равенства (5.4.8) получаем:

(5.4.8.1)

(5.4.8.2)

Преобразуем равенство (5.4.6) переносом членов и :

,

Подставим значения и из равенств (10.1) и (12.1), получаем:

И вынесем и за скобки:

(5.4.9)

Поскольку (так как ) по лемме 2 (см. пункт 4.3) из равенства (5.4.9) получаем:

(5.4.9.1)

(5.4.9.2)

Из сравнения членов полученных равенств (5.4.7.1; 5.4.7.2; 5.4.8.1; 5.4.8.2; 5.4.9.1 и 5.4.9.2) получаем противоречивый результат (поскольку числа ):

; ;

Противоречивый результат получен из исходного равенства (2) с помощью преобразований, не влияющих на достоверность получаемых промежуточных равенств. Это означает, что не существует чисел, удовлетворяющих условию теоремы, для которых при НЕЧЕТНОМ значении показателя степени выполняется равенство (2).

Рассмотрим случай ЧЕТНОГО показателя степени в равенстве (2).

Пусть и для чисел выполняется равенство (2).

Рассмотрим разложение бинома :

(14)

Здесь - биномиальные коэффициенты, которые в других обозначениях записываются: .

Заменив сумму на и вынеся за скобки произведение, получаем из равенства (14):

(15)

Пусть, где и, тогда, используя равенства (8.1), можно представить равенство (15) в виде:

И, если перенести в левую часть и вынести за скобки, получаем:

(16)

Где.

Согласно лемме 3 (см. пункт 5.5.1) полином можно преобразовать в вид:

Тогда из равенства (16), подставив выражение для и заменив в нем, получаем:

(17)

Здесь выполняются следующие условия:

, так как и ;

, так как,

Где первый член полинома имеет

,

А второй член полинома имеет

,

Поскольку и (так как (см. пункт 5.1.4) и - НЕЧЕТНОЕ число (см. пункт 4.2.4)).

Поскольку

и,

Равенство (16) не может быть выполнено.

Противоречивый результат получен из исходного равенства (2) с помощью преобразований, не влияющих на достоверность получаемых промежуточных равенств. Следовательно, не существует чисел, удовлетворяющих условию теоремы, для которых при ЧЕТНОМ значении показателя степени выполняется равенство (2).

Теорема доказана.

Лемма 3

Условие: Полином из равенства (16) можно представить в виде:

или

, где

Доказательство: Проведем преобразование, состоящее в выделении числа последовательно из каждой пары членов полинома :

И так далее.

В результате получаем выражение вида:

или

Здесь коэффициенты полинома выражаются через биномиальные коэффициенты следующим образом:

...........

Используя свойство биномиальных коэффициентов (суммы четных и нечетных биномиальных коэффициентов равны) т. е. и, учитывая, что коэффициенты =1 и =1 не используются при определении значений, можно получить, что. Следовательно, Лемма 3 доказана.

Похожие статьи




Доказательство теоремы - Об одной теореме теории чисел

Предыдущая | Следующая