Получение дискретной математической модели объекта - Моделирование математической модели теплообменника

Z-преобразование является одним из математических методов, разработанных для анализа и проектирования дискретных систем. Аппарат Z-преобразования играет для цифровых систем ту же роль, что и преобразование Лапласа для непрерывных систем. В последние годы при исследовании дискретных систем большое значение стал иметь метод пространства состояний, благодаря его многосторонности и общему подходу к задачам анализа и проектирования. [1]

Мотивировку использования Z-преобразования для изучения дискретных систем можно пояснить на примере преобразования Лапласа для квантованного сигнала. Пусть выходной сигнал идеального квантователя обозначен через. Преобразование Лапласа для определяется:

Выражение для не является рациональной функцией относительно, поскольку оно содержит множитель, не свойственный большинству передаточных функций непрерывных систем. Когда в передаточной функции появляется множитель, могут возникнуть трудности в вычислении обратного преобразования Лапласа. Следовательно, желательно сначала преобразовать иррациональную функцию в рациональную, обозначаемую, посредством замены комплексной переменной на другую комплексную переменную Z. Выбор такой замены очевиден:

Хотя замена отвечает тем же требованиям. Решая уравнение (4.2) относительно, получим

В двух последних уравнениях Т период квантования; Z комплексная переменная, действительная и мнимая части которой определяются в виде:

Где

Связь между Р и Z в уравнении (4.2) может быть определена как Z-отображение. Подставляя (4.2) в выражение (4.1), получим

Что при представлении в компактной форме является рациональной функцией относительно. Следовательно, можно определить как преобразование функции, т. е.

= Z-преобразование

Где Z - оператор Z-преобразования. Следуя выражениям (4.1) и (4.7), можно записать:

Поскольку - преобразование получается из преобразования Лапласа для функции заменой, то, в общем, для любой функции, имеющей преобразование Лапласа, существует также - преобразование.

Для осуществления z-преобразования воспользуемся пакетом Matlab:

Clc, clear

W1=tf([49.198 0.4909],[692.55 109.48 1]) %Задаем передаточную функцию для заданного динамического канала

T=0.5; % задаем период квантования, от которого будет зависеть точность модели

WW=c2d(W1,T,'zoh'); %производим переход от непрерывной модели к дискретной с ранее заданным периодом квантования и выбранным экстраполятором 'zoh'figure(1)

Step(WW, W1) %построим в одной системе координат непрерывную модель и дискретную grid on %нанесение сетки на систему координат

Получаем графики переходных характеристик для непрерывной и дискретной систем с периодам квантования Т=0.5 (Рис. 4.1).

переходная характеристика непрерывной и дискретной систем с периодом квантования т=0.5

Рисунок 4.1 - Переходная характеристика непрерывной и дискретной систем с периодом квантования Т=0.5

Произведем увеличение части переходных характеристик, для определения погрешности, возникающей при переходе от непрерывной к дискретной модели:

увеличенная часть переходной характеристики непрерывной и дискретной систем с периодом квантования т=0.5

Рисунок 4.2 - Увеличенная часть переходной характеристики непрерывной и дискретной систем с периодом квантования Т=0.5

Определяем погрешность квантования:

Погрешность квантования не превышает заданную (5%), значит выполняем переход от непрерывной модели к дискретной с периодом квантования 0.5.

Передаточная функция в z-области для заданного динамического канала:

Похожие статьи




Получение дискретной математической модели объекта - Моделирование математической модели теплообменника

Предыдущая | Следующая