Дополнительные примеры, Модель Мальтуса, Система хищник-жертва - МАтематическое моделирование в экономике

Модель Мальтуса

Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением

Где б -- некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция X(T) = X0EБT. Если рождаемость превосходит смертность (б > 0), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объема популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста

Где XS -- "равновесный" размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению XS, причем такое поведение структурно устойчиво.

Система хищник-жертва

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных: кролики (питающиеся растениями) и лисы (питающиеся кроликами). Пусть число кроликов X, число лис Y. Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя Модели Вольтерра -- Лотки:

Эта система имеет равновесное состояние, когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора. Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым: малое изменение модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения. Например, равновесное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать. Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерра -- Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

Похожие статьи




Дополнительные примеры, Модель Мальтуса, Система хищник-жертва - МАтематическое моделирование в экономике

Предыдущая | Следующая