Модель управления обучением - Методология моделирования процессов управления в социально-экономических системах

В качестве примера конкретной модели процесса управления обсудим модель распределения времени между овладением знаниями и развитием умений, впервые кратко рассмотренную в [26]. При моделировании исходим из того, что любое знание состоит частично из "информации" ("чистое знание") и частично из "умения" ("знаю как"). Умение - это мастерство, это способность использовать имеющиеся у вас сведения для достижения своих целей; умение можно еще охарактеризовать как совокупность определенных навыков, в конечном счете, умение - это способность методически работать [27, с.308].

Пусть X(T) - объем сведений, накопленных учащимся к моменту времени T ("чистое знание"), Y(T) - объем накопленных умений: умений рассуждать, решать задачи, разбираться в излагаемом преподавателем материале; U(T) - доля времени, отведенного на накопление знаний в промежутке времени (T; t + Dt).

Примем в модели в качестве исходного положения, что увеличение X(T + Dt) - X(T) объема знаний учащегося пропорционально потраченному на это времени U(T)Dt и накопленным умениям Y(T). Следовательно,

, (1)

Где коэффициент k1 > 0 зависит от индивидуальных особенностей учащегося.

Примем также, что увеличение знаний за то же время пропорционально потраченному на это времени (1 - U(T))Dt, имеющимся умениям Y(T) и знаниям X(T). Следовательно,

. (2)

Коэффициент K2 > 0 также зависит от индивидуальности. Учащийся тем быстрее приобретает умения, чем больше он уже знает и умеет. Тем быстрее усваивает знания, чем больше умеет. Но нельзя считать, что чем больше они запомнил, тем быстрее запоминает. На правую часть уравнения (1) влияют только приобретенные в прошлом активные знания, примененные при решении задач и перешедшие в умения. Отметим, что модель (1) - (2) имеет смысл применять на таких интервалах времени, чтобы, например, пять минут можно было считать бесконечно малой величиной.

Можно управлять процессом обучения, выбирая при каждом T значение функции U(T) из отрезка [0; 1]. Рассмотрим две задачи.

    1. Как возможно быстрее достигнуть заданного уровня знаний X1 и умений Y1? Другими словами, как за кратчайшее время перейти из точки фазовой плоскости (X0; Y0) в точку (X1; Y1)? 2. Как быстрее достичь заданного объема знаний, т. е. выйти на прямую X = X1?

Двойственная задача: за заданное время достигнуть как можно большего объема знаний. Оптимальные траектории движения для второй задачи и двойственной к ней совпадают (двойственность понимается в обычном для математического программирования смысле [28]).

С помощью замены переменных Z = K2X, W = K1K2Y перейдем от системы (1) - (2) к более простой системе дифференциальных уравнений, не содержащей неизвестных коэффициентов:

. (3)

(Описанная линейная замена переменных эквивалентна переходу к другим единицам измерения знаний и умений, своим для каждого учащегося.)

Решения задач 1 и 2, т. е. наилучший вид управления u(t), находятся с помощью математических методов оптимального управления, а именно, с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина [29]. В задаче 1 для системы (3) из этого принципа следует, что быстрейшее движение может происходить либо по горизонтальным (U = 1) и вертикальным (U = 0) прямым, либо по особому решению - параболе W = Z2 (U = 1/3). При движение начинается по вертикальной прямой, при - по горизонтальной, при - по параболе. По каждой из областей {Z2 > W} и {Z2 < W} проходит не более одного вертикального и одного горизонтального отрезка оптимальной траектории.

Используя теорему о регулярном синтезе [29, с.266], можно показать, что оптимальная траектория выглядит следующим образом. Сначала надо выйти на "магистраль" - добраться до параболы W = Z2 по вертикальной (U = 0) или горизонтальной (U = 1) прямой. Затем пройти основную часть пути по магистрали (U = 1/3). Если конечная точка лежит под параболой, добраться до нее по горизонтали, сойдя с магистрали. Если она лежит над параболой, заключительный участок траектории является вертикальным отрезком. В частности, в случае оптимальная траектория такова. Сначала надо выйти на магистраль - добраться по вертикальной (U = 0) прямой до параболы. Затем двигаться по магистрали (U = 1/3) от точки до точки. Наконец, по горизонтали (U = 1) выйти в конечную точку.

В задаче 2 из семейства оптимальных траекторий, ведущих из начальной точки (Z0; W0) в точки луча (Z1; W1), W0 < W1 < +?, выбирается траектория, требующая минимального времени. При Z1 < 2Z0 оптимально W1 = Z0 (Z1 - Z0), траектория состоит из вертикального и горизонтального отрезков. При Z1 > 2Z0 оптимально, траектория проходит по магистрали W = Z2 от точки до точки. Чем большим объемом знаний Z1 надо овладеть, тем большую долю времени надо двигаться по магистрали, отдавая при этом 2/3 времени увеличению умений и 1/3 времени - накоплению знаний.

Полученное для основного участка траектории оптимального обучения значение U = 1/3 можно интерпретировать приблизительно так: на одну лекцию должно приходиться два семинара, на 15 мин. объяснения 30 мин. решения задач. Результаты, полученные в математической модели, вполне соответствуют эмпирическим представлениям об оптимальной организации учебного процесса. Кроме того, модель определяет численные значения доли времени (1/3), идущей на повышение знаний, и доли материала (1/2), излагаемого на заключительных лекциях (без проработки на семинарах).

При движении по магистрали, т. е. в течение основного периода учебного процесса, оптимальное распределение времени между объяснениями и решением задач одно и то же для всех учащихся, независимо от индивидуальных коэффициентов K1 и K2. Этот факт устойчивости оптимального решения показывает возможность организации обучения, оптимального одновременно для всех учащихся. При этом время движения до выхода на магистраль зависит, естественно, от начального положения (X0; Y0) и индивидуальных коэффициентов K1 и K2.

Таким образом, модель процесса управления обучением (1) - (2) позволила получить ряд практически полезных рекомендаций, в том числе выраженных в числовой форме. При этом не понадобилось уточнять способы измерения объемов знаний и умений, имеющихся у учащегося. Достаточно было согласиться с тем, что эти величины удовлетворяют качественным соотношениям, приводящим к уравнениям (1) и (2).

Многочисленные модели процессов управления описаны в литературе [2, 14, 17, 18, 21, 24, 16]. Их практическим использованием обычно занимаются информационно-аналитические подразделения, службы контроллинга, качества и надежности, маркетинга и др. К тематике настоявшей статьи непосредственное отношение имеют работы А. М. Новикова и Д. А. Новикова по методологии [30] и Д. А. Новикова по методологии управления [31].

Похожие статьи




Модель управления обучением - Методология моделирования процессов управления в социально-экономических системах

Предыдущая | Следующая