Метод Лагранжа, Практична частина до метода Лагранжа - Визначення наявності лінійного зв'язку між в'язкістю та теплоємкістю

Даний метод не є єдиним способом побудови інтерполяційного поліному. Інший підхід, яким часто користуються на практиці, називається методом Лагранжа.

Нехай при Х=х0, х1, ... , хn функція F(х) приймає відповідно значення У0, у1,... , уn. Багаточлен ступеня не вище N, що приймає у вузлових точках задані значення, має вид:

Рn(х)=у=.

Цей багаточлен (2.3) називається інтерполяційною формулою Лагранжа і має такі властивості:

При заданій сукупності вузлових точок будова багаточлена можлива тільки єдиним способом.

Багаточлен Лагранжа може бути побудовано при будь-якому розташуванні вузлів інтерполяції (включаючи і нерівномірне). У нашому випадку ми починаэмо з многочлена n=1, тобто треба ввести 2 точки і многочлен прийме вид:

При введені заданого х та 2-х точек у програму Лагранжа по цьому многочлену ВМС розраховує у. При використанні многочлена n=2, тобто потрібно вже 3 точки і многочлен прийме вид:

Далі все аналогічно попередньому.

Практична частина до метода Лагранжа

Використовуючи метод Лагранжа знайдемо, і Ср при заданій T.

1)При Т=530С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість точок повинна бути 2. При рішені цієї задачи можна використати пркладну програму LAGRANG. EXE (див. Додаток 3), що ми і зробимо.

Оберемо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=500; x1=600;

y0=1880; y1=2120.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такі результати 108=y=1952, де =1,95210-5 Пас

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3.

Оберемо три точки найближче розташовані коло заданого х=Т=530

X0=400; x1=500; x2=600;

Y0=1650; y1=1880; y2=2120.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такі результати 108=y=1950.9501, де =1,95210-5 Пас

Тепер перевіримо похибку

Так як похибка <5, то візьмемо результати отримані за меншим рівнем порядку многочлену при Т=530С =1,95210-5 Пас, тобто многочлен n=1 добре описує експериментальні дані на деякому відрізку. Якщо була б похибка >5, то порядок многочлена підвищуємо на 1 і аналогічно розраховуємо далі. Отримані результати порівнюємо з попереднім результатом отриманим при використанні многочлена n=2. Розраховуємо похибку і робимо це до тих пір доки похибка не буде менша 5 %, тоді многочлен меншого ступеню нам підійде.

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такі результати 108VII=1944,4249, де м=1,944410-5 Пас

2)При Т=530 С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=500; x1=600;

y0=864,1; y1=1081.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такий результат 104=y=929,17, де =9,291710-2Вт/(мК)

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3.

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=400; x1=500; x2=600;

y0=673,4; y1=864,1; y2=1081

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такий результат 104=y=926,4189, де =9,264110-2Вт/(мК)

Так як похибка <5, то при Т=530С =9,291710-2Вт/(мК)

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2) , також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такі результати VII=925,40, де =9,254010-2Вт/(мК)

3) При Т=530 С знайдемо Ср=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

X0=500; x1=600;

Y0=3,273; y1=3,608

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такий результат Ср=y=3,3735, де Ср=3,3735 кДж/(кгК)

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3.

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=400; x1=500; x2=600;

y0=2,943; y1=3,273; y2=3,608.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такий результат Ср=y=3,3730, де Ср=3,3730 кДж/(кгК)

Так як похибка <5, то при Т=530С Ср=3,3735 кДж/(кгК)

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2) , також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такі результати СрVII=3,37, де Ср= 3,37 кДж/(кгК).

4)При Т=75 С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=0; x1=100;

y0=685; y1=930.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такий результат 108=y=868,75, де =8,687510-6 Пас

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=0; x1=100; x2=200;

y0=685; y1=930; y2=1170

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такий результат 108=y=869,2188, =8,692110-6 Пас

Так як похибка <5, то при Т=75С =8,687510-6 Пас

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такі результати 108VII=853,2199, де м=8,532110-6 Пас

5)При Т=75 С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

X0=0; x1=100;

Y0=130.3; y1=227.9

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такий результат 104=y=203,500, де =2,03510-2Вт/(мК)

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

X0=0; x1=100; x2=200;

Y0=130.3; y1=227.9; y2=352.4.

Введемо їх у програму та отримаємо такий результат 104=y=200,9781, де =2,009710-2Вт/(мК)

Так ак похибка <5, то при Т=75С =2,03510-2 Вт/(мК)

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такі результати 104VII=199,31, де =199,31 Вт/(мК)

6)При Т=75 С знайдемо Ср=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількістькрапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

X0=0; x1=100;

Y0=1.44; y1=1.842.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такий результат Ср=y=1,7415, де Ср=1,7415 кДж/(кгК)

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=0; x1=100; x2=200;

y0=1.44; y1=1.842; y2=2.223.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такий результат Ср=y=1,7435, де Ср=1,7435 кДж/(кгК).

Так ак похибка <5, то при Т=75С Ср=1,7415 кДж/(кгК).

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такі результати СрVII=1,74, де Ср =1,74 кДж/(кгК)

7)При Т=750 С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

X0=700; x1=600;

Y0=2370; y1=2120

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат 108=y=2495, де =2,49510-5Пас

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=700; x1=600; x2=500;

y0=2370; y1=2120; y2=1880

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат 108=y=2498,75, де =2,49810-5Пас

Так як похибка <5, то при Т=750С =2,49510-5 Пас

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2) , також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такі результати 108VII=2188,0105, де м=2,1880 10-5Пас

8)При Т=750 С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=700; x1=600;

y0=1330; y1=1081

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат 104=y=1454,5, де =14,54510-2Вт/(мК)

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

X0=700; x1=600; x2=500;

Y0=1330; y1=1081; y2=864.1.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат 104=y=1466,5375, де =14,665310-2Вт/(мК)

Так як похибка <5, то при Т=750С =14,54510-2Вт/(мК)

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такі результати 104VII=1432,7455, де =14,327410-2Вт/(мК)

9)При Т=750 С знайдемо Ср=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

X0=700; x1=600;

Y0=3.956; y1=3.608

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат Ср=y=4,13, де Ср=4,13 кДж/(кгК).

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

X0=700; x1=600; x2=500;

Y0=3.956; y1=3.608; y2=3.273.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат Ср=y=4,1349, де Ср=4,1349 кДж/(кгК)

Так як похибка <5, то при Т=750С Ср=4,13 кДж/(кгК)

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такі результати СрVII=4,0264, де Ср= 4,0264 кДж/(кгК)

Таблиця 4.1 Сводна таблиця значень отриманих по метадам Лагранжу та параболічної інтерполяції

Задана

Т

Фізичні властивості

Результати отримані методом параболічної інтерполяції

(поліном першого ступеню)

Результати отримані методом Лагранжу (многочлен n=1, вводяться 2 крапки / многочлен n=7, вводяться 8 крапок)

530

1.95210 -5

1.95210 -5 / 1.94410-5

530

9.291610 -2

9.291710 -2 / 9.254010-2

530

Ср

3.3725

3.3735 / 3.37

75

0.868710 -5

0.867510 -5 / 0.853210-5

75

2.034910 -2

2.03510 -2 / 1.99310-2

75

Ср

1.7415

1.7415 / 1.74

750

2.49510 -5

2.49510 -5 / 2.18810-5

750

14.54510 -2

14.54510 -2 / 14.327410-2

750

Ср

4.1299

4.13 / 4.0264

При заданій температурі ми знаходимо такі фізичні властивості як теплоємність, вязкість та, використовуючи такі методи обробки експериментальних даних, як метод параболічної інтерполяції і метод Лагранжу. Використовуючи перший метод відповідно виявили, що поліном першого ступеню підходить для описання експериментальних даних на деякому відрізку, розрахувавши коефіцієнти поліному знайшли при відповідному Т відповідне значення фізичної властивості. При використанні методу Лагранжа усі розрахунки робили на ВМС, на спеціальній прикладній програмі LAGRANG. EXE. Починали з використання многочлена n=1, де використовується 2 точки найбільш близько розташовані коло заданої незалежної змінної. Вводимо до програми 2 точки, задану температуру, тобто незалежну змінну, та отримуємо результат відповідної фізичної властивості при заданій температурі. Аналогічно пророблюємо усе для многочлена n=2, де кількість точок повинна бути 3. Отримані результати по 2 і 3 точкам при заданій незалежній змінній порівнюємо, розраховуємо похибку і якщо вона буде менше 5, то многочлен n=1 нам підходить для описання експериментальних даних на деякому відрізку. Якщо ні, то порядок многочлена підвищуємо на 1, тобто вже потрібно використовувати 4 точки, і аналогічно розраховуємо далі. Отримані результати порівнюємо з попереднім результатом отриманим при використанні многочлена n=2. Розраховуємо похибку і робимо це до тих пір доки похибка не буде менша 5 %, тоді многочлен меншого ступеню нам підійде. Уданому випадку многочлен n=1 добре підходить для всіх заданих незалежних змін (температур) для находження відповідних фізичних властивостей. Також до програми ми вводили усі 8 точок, тобто многочлен n=7, і ввели задану температуру, та отримали результати відповідних фізичних властивостей. Порівнявши отримані результати методом параболічної інтерполяції, де поліном 1 ступеню підходить для усіх заданих Т, і метод Лагранжу, де многочлен n=1 підходить для усіх заданих Т, також порівняли результати отримані методом Лагранжу, з використанням многочлена n=7, де кількість точок дорівнює 8 (дивись Табл. 2.12). Виявили, що результат в методі параболічної інтерполяції з використанням поліному першого ступеню і результати в методі Лагранжу з використанням многочлена n=1 практично однакові, (дивись Табл. 2.12), а в методі Лагранжу з використанням многочлена n=7 є вже деякі відхилення від метода параболічної інтерполяції.

Похожие статьи




Метод Лагранжа, Практична частина до метода Лагранжа - Визначення наявності лінійного зв'язку між в'язкістю та теплоємкістю

Предыдущая | Следующая