Метод Лагранжа, Практична частина до метода Лагранжа - Визначення наявності лінійного зв'язку між в'язкістю та теплоємкістю
Даний метод не є єдиним способом побудови інтерполяційного поліному. Інший підхід, яким часто користуються на практиці, називається методом Лагранжа.
Нехай при Х=х0, х1, ... , хn функція F(х) приймає відповідно значення У0, у1,... , уn. Багаточлен ступеня не вище N, що приймає у вузлових точках задані значення, має вид:
Рn(х)=у=.
Цей багаточлен (2.3) називається інтерполяційною формулою Лагранжа і має такі властивості:
При заданій сукупності вузлових точок будова багаточлена можлива тільки єдиним способом.
Багаточлен Лагранжа може бути побудовано при будь-якому розташуванні вузлів інтерполяції (включаючи і нерівномірне). У нашому випадку ми починаэмо з многочлена n=1, тобто треба ввести 2 точки і многочлен прийме вид:
При введені заданого х та 2-х точек у програму Лагранжа по цьому многочлену ВМС розраховує у. При використанні многочлена n=2, тобто потрібно вже 3 точки і многочлен прийме вид:
Далі все аналогічно попередньому.
Практична частина до метода Лагранжа
Використовуючи метод Лагранжа знайдемо, і Ср при заданій T.
1)При Т=530С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість точок повинна бути 2. При рішені цієї задачи можна використати пркладну програму LAGRANG. EXE (див. Додаток 3), що ми і зробимо.
Оберемо дві точки між якими лежить заданий х:
x0=500; x1=600;
y0=1880; y1=2120.
Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такі результати 108=y=1952, де =1,95210-5 Пас
Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3.
Оберемо три точки найближче розташовані коло заданого х=Т=530
X0=400; x1=500; x2=600;
Y0=1650; y1=1880; y2=2120.
Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такі результати 108=y=1950.9501, де =1,95210-5 Пас
Тепер перевіримо похибку
Так як похибка <5, то візьмемо результати отримані за меншим рівнем порядку многочлену при Т=530С =1,95210-5 Пас, тобто многочлен n=1 добре описує експериментальні дані на деякому відрізку. Якщо була б похибка >5, то порядок многочлена підвищуємо на 1 і аналогічно розраховуємо далі. Отримані результати порівнюємо з попереднім результатом отриманим при використанні многочлена n=2. Розраховуємо похибку і робимо це до тих пір доки похибка не буде менша 5 %, тоді многочлен меншого ступеню нам підійде.
Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такі результати 108VII=1944,4249, де м=1,944410-5 Пас
2)При Т=530 С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.
Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:
x0=500; x1=600;
y0=864,1; y1=1081.
Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такий результат 104=y=929,17, де =9,291710-2Вт/(мК)
Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3.
Обираємо три точки між якими лежить заданий х:
x0=400; x1=500; x2=600;
y0=673,4; y1=864,1; y2=1081
Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такий результат 104=y=926,4189, де =9,264110-2Вт/(мК)
Так як похибка <5, то при Т=530С =9,291710-2Вт/(мК)
Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2) , також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такі результати VII=925,40, де =9,254010-2Вт/(мК)
3) При Т=530 С знайдемо Ср=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.
Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:
X0=500; x1=600;
Y0=3,273; y1=3,608
Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такий результат Ср=y=3,3735, де Ср=3,3735 кДж/(кгК)
Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3.
Обираємо три точки між якими лежить заданий х:
x0=400; x1=500; x2=600;
y0=2,943; y1=3,273; y2=3,608.
Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такий результат Ср=y=3,3730, де Ср=3,3730 кДж/(кгК)
Так як похибка <5, то при Т=530С Ср=3,3735 кДж/(кгК)
Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2) , також введемо заданий х=Т=530 та отримаємо такі результати СрVII=3,37, де Ср= 3,37 кДж/(кгК).
4)При Т=75 С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.
Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:
x0=0; x1=100;
y0=685; y1=930.
Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такий результат 108=y=868,75, де =8,687510-6 Пас
Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:
x0=0; x1=100; x2=200;
y0=685; y1=930; y2=1170
Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такий результат 108=y=869,2188, =8,692110-6 Пас
Так як похибка <5, то при Т=75С =8,687510-6 Пас
Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такі результати 108VII=853,2199, де м=8,532110-6 Пас
5)При Т=75 С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.
Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:
X0=0; x1=100;
Y0=130.3; y1=227.9
Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такий результат 104=y=203,500, де =2,03510-2Вт/(мК)
Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:
X0=0; x1=100; x2=200;
Y0=130.3; y1=227.9; y2=352.4.
Введемо їх у програму та отримаємо такий результат 104=y=200,9781, де =2,009710-2Вт/(мК)
Так ак похибка <5, то при Т=75С =2,03510-2 Вт/(мК)
Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такі результати 104VII=199,31, де =199,31 Вт/(мК)
6)При Т=75 С знайдемо Ср=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількістькрапок повинна бути 2.
Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:
X0=0; x1=100;
Y0=1.44; y1=1.842.
Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такий результат Ср=y=1,7415, де Ср=1,7415 кДж/(кгК)
Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:
x0=0; x1=100; x2=200;
y0=1.44; y1=1.842; y2=2.223.
Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такий результат Ср=y=1,7435, де Ср=1,7435 кДж/(кгК).
Так ак похибка <5, то при Т=75С Ср=1,7415 кДж/(кгК).
Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такі результати СрVII=1,74, де Ср =1,74 кДж/(кгК)
7)При Т=750 С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.
Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:
X0=700; x1=600;
Y0=2370; y1=2120
Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат 108=y=2495, де =2,49510-5Пас
Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:
x0=700; x1=600; x2=500;
y0=2370; y1=2120; y2=1880
Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат 108=y=2498,75, де =2,49810-5Пас
Так як похибка <5, то при Т=750С =2,49510-5 Пас
Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2) , також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такі результати 108VII=2188,0105, де м=2,1880 10-5Пас
8)При Т=750 С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.
Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:
x0=700; x1=600;
y0=1330; y1=1081
Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат 104=y=1454,5, де =14,54510-2Вт/(мК)
Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:
X0=700; x1=600; x2=500;
Y0=1330; y1=1081; y2=864.1.
Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат 104=y=1466,5375, де =14,665310-2Вт/(мК)
Так як похибка <5, то при Т=750С =14,54510-2Вт/(мК)
Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такі результати 104VII=1432,7455, де =14,327410-2Вт/(мК)
9)При Т=750 С знайдемо Ср=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.
Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:
X0=700; x1=600;
Y0=3.956; y1=3.608
Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат Ср=y=4,13, де Ср=4,13 кДж/(кгК).
Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:
X0=700; x1=600; x2=500;
Y0=3.956; y1=3.608; y2=3.273.
Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат Ср=y=4,1349, де Ср=4,1349 кДж/(кгК)
Так як похибка <5, то при Т=750С Ср=4,13 кДж/(кгК)
Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такі результати СрVII=4,0264, де Ср= 4,0264 кДж/(кгК)
Таблиця 4.1 Сводна таблиця значень отриманих по метадам Лагранжу та параболічної інтерполяції
Задана Т |
Фізичні властивості |
Результати отримані методом параболічної інтерполяції (поліном першого ступеню) |
Результати отримані методом Лагранжу (многочлен n=1, вводяться 2 крапки / многочлен n=7, вводяться 8 крапок) |
530 |
1.95210 -5 |
1.95210 -5 / 1.94410-5 | |
530 |
9.291610 -2 |
9.291710 -2 / 9.254010-2 | |
530 |
Ср |
3.3725 |
3.3735 / 3.37 |
75 |
0.868710 -5 |
0.867510 -5 / 0.853210-5 | |
75 |
2.034910 -2 |
2.03510 -2 / 1.99310-2 | |
75 |
Ср |
1.7415 |
1.7415 / 1.74 |
750 |
2.49510 -5 |
2.49510 -5 / 2.18810-5 | |
750 |
14.54510 -2 |
14.54510 -2 / 14.327410-2 | |
750 |
Ср |
4.1299 |
4.13 / 4.0264 |
При заданій температурі ми знаходимо такі фізичні властивості як теплоємність, вязкість та, використовуючи такі методи обробки експериментальних даних, як метод параболічної інтерполяції і метод Лагранжу. Використовуючи перший метод відповідно виявили, що поліном першого ступеню підходить для описання експериментальних даних на деякому відрізку, розрахувавши коефіцієнти поліному знайшли при відповідному Т відповідне значення фізичної властивості. При використанні методу Лагранжа усі розрахунки робили на ВМС, на спеціальній прикладній програмі LAGRANG. EXE. Починали з використання многочлена n=1, де використовується 2 точки найбільш близько розташовані коло заданої незалежної змінної. Вводимо до програми 2 точки, задану температуру, тобто незалежну змінну, та отримуємо результат відповідної фізичної властивості при заданій температурі. Аналогічно пророблюємо усе для многочлена n=2, де кількість точок повинна бути 3. Отримані результати по 2 і 3 точкам при заданій незалежній змінній порівнюємо, розраховуємо похибку і якщо вона буде менше 5, то многочлен n=1 нам підходить для описання експериментальних даних на деякому відрізку. Якщо ні, то порядок многочлена підвищуємо на 1, тобто вже потрібно використовувати 4 точки, і аналогічно розраховуємо далі. Отримані результати порівнюємо з попереднім результатом отриманим при використанні многочлена n=2. Розраховуємо похибку і робимо це до тих пір доки похибка не буде менша 5 %, тоді многочлен меншого ступеню нам підійде. Уданому випадку многочлен n=1 добре підходить для всіх заданих незалежних змін (температур) для находження відповідних фізичних властивостей. Також до програми ми вводили усі 8 точок, тобто многочлен n=7, і ввели задану температуру, та отримали результати відповідних фізичних властивостей. Порівнявши отримані результати методом параболічної інтерполяції, де поліном 1 ступеню підходить для усіх заданих Т, і метод Лагранжу, де многочлен n=1 підходить для усіх заданих Т, також порівняли результати отримані методом Лагранжу, з використанням многочлена n=7, де кількість точок дорівнює 8 (дивись Табл. 2.12). Виявили, що результат в методі параболічної інтерполяції з використанням поліному першого ступеню і результати в методі Лагранжу з використанням многочлена n=1 практично однакові, (дивись Табл. 2.12), а в методі Лагранжу з використанням многочлена n=7 є вже деякі відхилення від метода параболічної інтерполяції.
Похожие статьи
-
Використовуючи метод параболічної інтерполяції визначимо необхідну ступінь поліному, його коефіцієнти і значення параметрів у зазначених невузлових...
-
Розглянемо емпіричну залежність y=a+bx (1). Так як це лінійна функція, то ні яких перетворень не буде і x та y лишаються без будь-яких перетворень...
-
Лінійний регресійний аналіз - Визначення наявності лінійного зв'язку між в'язкістю та теплоємкістю
Дослідження й оптимізація складних, неорганізованих систем можливі лише за допомогою Рівняння регресії . Проте не завжди експериментальний матеріал дає...
-
Проведемо кореляційний аналіз і встановимо наявність лінійного звязку між експерименальними даними (вихідні дані 1). За допомогою прикладної програми...
-
Введення, Кореляційний аналіз - Визначення наявності лінійного зв'язку між в'язкістю та теплоємкістю
Математичне опрацювання і аналіз результатів експерименту необхідні як студентам технічних вузів, так і інженерам-дослідникам і інженерам-технологам....
-
Аналіз рівняння регресії - Визначення наявності лінійного зв'язку між в'язкістю та теплоємкістю
Дисперсія адекватності моделі характеризує міру відхилення даних, отриманих розрахунком по рівнянню регресії (1.11) від реальних експериментальних...
-
Інтерполяцію можна розглядати як процес визначення для даного аргументу Х , який не потрапляє в таблицю экспериментальних значень, значення функції...
-
Метод найменших квадратів - Визначення наявності лінійного зв'язку між в'язкістю та теплоємкістю
Емпірична формула в загальному виді може бути записана так: = F(хi, aj), Де хi - незалежні змінні, aj - коефіцієнти емпіричної залежності. Відповідно до...
-
Як правило, пошук параметрів здійснюється для емпіричної формули, приведеної до лінійного виду. Метод обраних точок Нехай емпірична формула має вид...
-
Проведемо дослідження наявності лінійного звязку між двома випадковими фізичними властивостями (вихідні дані 2). За допомогою прикладної програми mnk. lk...
-
Для розрахунків і оптимізації, як правило, замість табличних даних і графіків використовуються формули, що відбивають закономірності табличного або...
-
Розглянемо вихідні дані 1 (табл.(1)) і рекомендовані нам залежності, проведемо регресійний аналіз для всіх рекомендованих залежностей та виявимо яка з...
-
Лінійна кореляція - Визначення наявності лінійного зв'язку між в'язкістю та теплоємкістю
Як правило при кореляційному аналізі досліджуються тільки лінійні зв'язки між величинами, а статистичні критерії свідчать про наявність або відсутність...
-
Перед пошуком розв'язку задачі зробимо деякі перетворення в моделі. Для перетворимо рівняння (2.2) і отримаємо: Отримаємо: Тепер підставимо отриманий...
-
В основі моделі (2.2.) - (2.6) лежить рівняння, яке має вигляд: , Зробимо просте перетворення, зробивши заміну: (2.7) І отримаємо рівняння (2.8): (2.8)...
-
Метод множителей Лагранжа - Экономико-математические методы
Среди задач (4.1)-(4.3) особое место занимают задачи типа (6.10) , (6.11) Для решения которых можно воспользоваться классическим методом оптимизации...
-
ЗАТ "Біола" випускає три види продукції: напій на основі сиропу з цукром, напій на основі сиропу з цукрозамінником, сік. У поточному місяці прогнозуються...
-
Вычисления для следующих входных данных F=1000H m=200 кг m'=1 кг/сек k=2 t0=0 сек V0=0 м/сек B=50 n=50 V1 (t) - результаты, полученные с помощью...
-
Головною задачею титриметриного аналізу є не тільки використовувати розчин з точно відомою концентрацією (фіксанал), але й правильно визначити точку...
-
Заключение - Ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели
В данной работе был рассмотрен ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели, был предложен способ приближенного вычисления ранговой оценки...
-
Ранговый метод - Ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели
Метод наименьших квадратов широко применяется для оценки параметров линейной регрессии, поскольку достаточно прост в вычислении и при предположении о...
-
Отличие результата вычисления объема путем представления его в виде суммы призм, от результата вычисления объема путем простого усреднения всех высотных...
-
Поверхность палетки - Сравнение методов вычисления объемов насыпных складов и отвалов
Метод палетки предназначен, главным образом, для построения модели поверхности, а не для расчета объемов. Для детального отображения поверхности нужна...
-
Адсорбционные методы исследования свойств поверхности позволяют количественно охарактеризовать происходящие при адсорбции межмолекулярные взаимодействия,...
-
Задачи и методы количественного анализа - Основы аналитической химии
Количественный анализ - это совокупность химических, физико-химических и физических методов определения количественного соотношения компонентов, входящих...
-
Введение, Методы экстраполяции - Формализованные методы прогнозирования
К формализованным методам относятся методы экстраполяции и методы моделирования. Они базируются на математической теории. Среди методов экстраполяции...
-
Рассмотрим случай, когда граница раздела проходит по хребту, т. е. высотные отметки точек на границе имеют максимальные значения среди всех остальных...
-
Этапы экономико-математического моделирования - Методы экономико-математического моделирования
Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, они приобретают свои...
-
Реализация интеллектуальных систем поддержки решений (ИСППР) в задачах оценки перспективности объектов природопользования на ранних стадиях их...
-
Оценка адекватности моделей методом факторно-плоскостного пространственного проецирования
Оценка адекватности моделей методом факторно-плоскостного пространственного проецирования Современная автомобильная промышленность ставит перед...
-
Заключение - Методы изучения сезонных колебаний. Примеры расчетов
Сезонность учитывается при прогнозировании. Задачи прогнозирования решаются в самых разнообразных областях человеческой деятельности, таких как наука,...
-
Перевірка отриманих результатів вимірювання на наявність грубих похибок за Q - критерієм при ? = 0,95 Де: Хі - отримані результати аналізу Перевірка...
-
BONAQUA МОРШИНСЬКА ЗНАМЕНІВСЬКА МИРГОРОДСЬКА Статистична обробка результатів аналізу Перевірка отриманих результатів вимірювання загальної лужності...
-
1.1 Постановка задачи Произвести обработку результатов измерений по обнаружению грубых погрешностей, используя статистические критерии: Романовского,...
-
В результате первой стадии статистического исследования (статистического наблюдения) получают статистическую информацию, представляющую собой большое...
-
Основные понятия теории экономико-математического моделирования Кибернетический подход к исследованию экономико-математических систем Обычно...
-
Комплексонометричне визначення кальцію та магнію грунтується на таких же реакціях, як і визначення твердості води. У сильнолужному середовищі при рН = 12...
-
Введение - Ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели
Объектом исследования в этой ВКР является ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели. Этот метод применяется при построении регрессионных...
-
Метод наименьших квадратов - Корреляционно-регрессионный анализ
Для определения коэффициентов уравнения регрессии b применяют разные методы (графический, метод средних), однако наибольшее распространение получил метод...
-
В аргентометрии применяют различные способы установления точки эквивалентности как с помощью индикаторов, так и без них. Метод равного помутнения. Идея...
Метод Лагранжа, Практична частина до метода Лагранжа - Визначення наявності лінійного зв'язку між в'язкістю та теплоємкістю