Метод наименьших квадратов - Корреляционно-регрессионный анализ

Для определения коэффициентов уравнения регрессии b применяют разные методы (графический, метод средних), однако наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов (МНК).

Экспериментальные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице

I=1

I=2

I=3

I=4

I=5

Xi

0

1

2

4

5

Yi

2,1

2,4

2,6

2,8

3,0

В результате их выравнивания получена функция

Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y=ax+b (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные.

Суть метода наименьших квадратов

Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных А и B

Принимает наименьшее значение. То есть, при данных А и B сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов.

Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных.

Вывод формул для нахождения коэффициентов.

Составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции

По переменным а и b, приравниваем эти производные к нулю.

При данных а и b функция

Вот и весь метод наименьших квадратов. Формула для нахождения параметра A Содержит суммы ; ; ; и параметр N - количество экспериментальных данных. Значения этих сумм рекомендуем вычислять отдельно. Коэффициент B находится после вычисления A.

Пришло время вспомнить про исходный пример.

Похожие статьи




Метод наименьших квадратов - Корреляционно-регрессионный анализ

Предыдущая | Следующая