Метод найменших квадратів - Визначення наявності лінійного зв'язку між в'язкістю та теплоємкістю

Емпірична формула в загальному виді може бути записана так:

= F(хi, aj),

Де хi - незалежні змінні, aj - коефіцієнти емпіричної залежності.

Відповідно до методу найменших квадратів найкращими будуть коефіцієнти, знайдені за умови:

Min {R(aj)} = (i = 1, 2,... ,n; j = 0, 1,... , m)

Тобто мінімуму суми квадратів відхилень між експериментальними (yi=f(xi)) і розрахунковими () значеннями.

При фіксованих значеннях xi функція R(aj) є позитивно визначеною функцією (заданою і неперервною на інтервалі [х1, хn]) і, отже має екстремум. Необхідною умовою існування екстремуму функції декількох змінних є рівність нулю частинних похідних.

На практиці, як правило, при визначенні коефіцієнтів по методу найменших квадратів будь-яку емпіричну залежність доцільно потрібно призвести до лінійного виду. Розглянемо одержання системи нормальних рівнянь для даної функції.

Потрібно визначити коефіцієнт емпіричної формули

= F(хi, aj) = a + b - хi.

Тоді вираз (1.10) прийме вид:

R (aj, хi) = (yi - a + b - хi)2

Нормальна система для визначення a і b буде мати такий вид:

= 2 ( yi - a + b - хi) - 1 = 0

= 2 (yi - a + b - хi) - хi = 0

Зробивши найпростіші перетворення, одержимо:

A - n + b - хi = yi

A - хi + b - хi2 = хi - yi

Розв'язавши систему (2.7), одержуємо значення a і b. Підставивши їх у вираз (2.3), отримаємо вид емпіричної формули.

Коефіцієнти регресії B і A можна обчислити по формулах:

B = ;

В усіх цих виразах коефіцієнти регресії визначаються на підставі вимірів, проведених у n експериментальних точках (n >2).

Похожие статьи




Метод найменших квадратів - Визначення наявності лінійного зв'язку між в'язкістю та теплоємкістю

Предыдущая | Следующая