Практична частина до методів апраксимації - Визначення наявності лінійного зв'язку між в'язкістю та теплоємкістю

Розглянемо емпіричну залежність y=a+bx (1). Так як це лінійна функція, то ні яких перетворень не буде і x та y лишаються без будь-яких перетворень (значення x та y табл.1). Лишається нанести їх на графік у координатах х та у (див. 3437.КР2004-ХТ0303.002ГТ ст.1). Очевидно, що точки добре укладаються на пряму, що доказує можливість застосування рівняння (1) для опису експериментальних даних. Знайдемо тепер коефіцієнти цього рівняння Методом обраних точок. Виберемо на прямій, побудованій в методі вирівнювання, довільні точки найбільш віддалені одна від одної, координати цих точок N(0,61;3620), L(31;295), та складемо систему нормальних рівнянь: кореляція регресія емпіричний інтерполяція

.

Рішивши цю систему отримаємо такі значення коефіцієнтів:

B=-109,41099548; a=3686,74072266.

В результаті отримаємо рівняння y=3686,74072266-109,41099548x (3.1), та розрахуємо по ньому розрахункові і похибку по величині суми квадратів відхилень (табл. 3.1), яка склала114751,0104.

Таблиця 3.1 Розрахунок та відхилення.

№

Х

Y

1

1,68

3445

3502,9303

3355,91963

2

7,86

2685

2826,7711

2099,0448

3

5,13

2890

3125,4628

55442,730

4

2,71

3320

3390,2372

4933,2642

5

0,61

3620

3620,0001

0,000001

6

31,0

295

295,0028

0,00000784

7

21,5

1360

1334,4063

655,037479

8

13,5

1990

2209,693

48265,01425

83,99

1,96050

114751,0104

Тепер знайдемо коефіцієнти цього рівняння тільки Методом середніх точок. Тут будуть брати участь усі єкспериментальні точки. Де в обовязковому порядку або X, або Y повинні монотонно змінюватися у системах (значення X та Y у табл. 3.1).

;

Просуміруємо рівняння у кожній системі, та отримаємо нову систему:

Рішивши цю систему отримаємо такі значення коефіцієнтів:

B=-108,92409515;

A=3594,60034180.

В результаті отримаємо рівняння y=3594,60034180-108,9240x (1.1), розрахуємо по ньому розрахункові і похибку по величині суми квадратів відхилень (табл. 3.2, де x та y беруться з табл. 1, вихідні дані 1), яка склала 69525,8113.

Таблиця 3.2 Розрахунок та відхилення.

№

1

3411,608

1115,0256

2

2738,457

2857,65084

3

3035,820

21263,4724

4

3299,416

423,7010

5

3528,156

8435,3203

6

217,9563

5935,7317

7

1252,7343

11505,9304

8

2124,1263

17988,979

69525,8113

Також можна знайти коефіцієнти цього рівняння Методом найменших квадратів, але ж це ми робили у лінійно регресіному аналізі для усіх 4-х рівнянь, зокрема для першого рівняння вона склала 65052,2226.

При застосуванні трьох методів виявилось, що похибка по величині суми квадратів відхилень сама найменша у методі обраних точок (для рівняння (1) табл.3.1). Тобто цей метод можна вважати условно кращим для знаходження коефіцієнтів ємпірічної залежності.

Розглянемо другу емпіричну залежність Y = (2). Перевіримо можливість використання її. Ввівши нові значення змінних Y=lny, X=x, lny=a+bx приведемо її до лінійного виду Y=а+bX. Розрахуємо нові значення змінних X та Y (табл. 2.4) і їх розташовуємо на графіку з координатами Х і Y (3437.КР2004-ХТ03303.002.ГТ ст.2). Як видно, отримані точки не дуже добре укладаються на пряму, отже, даною емпіричною формулою не можна описати єкспериментальні дані.

Розглянемо третю емпіричну залежність У=1/(a+bx) (3), Ввівши нові значення змінних Y=, X=x, приведемо її до лінійного виду Y=a+bX. Получені значення Х та Y (розраховані у попередньому завданні (табл. 2.6) розташовуємо на графіку з координатами Х і Y (див. 3437. КР2004-ХТ03303.002.ГТ ст.3). Очевидно, що точки не укладаються на пряму, отже, даною емпіричною формулою не можна описати єкспериментальні дані.

Розглянемо слідуючу емпіричну залежність Y=a+bх2 (4). Перевіримо можливість використання її. Ввівши нові значення змінних Y=y і X= х2, приведемо її до лінійного виду Y=b+aX. Розрахуємо нові значення змінних X та Y (табл. 2.8) і їх розташовуємо на графіку з координатами Х і Y (3437 КР2004-ХТ03303.002.ГТ ст.4). Як видно, отримані точки не укладаються на пряму, отже, даною емпіричною формулою не можна описати єкспериментальні дані.

Що в методі регресійного аналізу, що в апроксимації вид рівняння, що описує в необхідних межах реальну дійсність повинен обирати сам дослідник. Але ж іноді виявляється, що одні і тіж дані, які укладаються на графіку у яку-небудь криву, можно описати різними видами рівнянь. Отже тепер потрібно перевірити яке з них найкраще підійде, цим і займаються методи регрересивного аналізу і апроксимації.

У даній курсовій роботі представлені деякі дослідні дані, до них рекомендуються декілько рівнянь описуючи теоретично ці дослідні дані. Провевши регресійний аналіз кожної функції, виявилось, що (1) рівняння підходять для описання дослідних даних. Перевіривши цю функцію методом апроксимації (метод вирівнювання), виявилось, що вона підходить, тобто воно описує експериентальні дані в деяких межах. Розрахували коєфіціенти a і b і оцінили похибку по величині суми квадратів відхилень різноманітними методами отримали такі результати:

Методом обраних точок - 114751,0104.

Методом середніх точок - 69525,8113.

Методом найменших квадратів - 65052,2226.

Похибка по величині суми квадратів відхилень сама найменша в методі найменших квадратів, тобто цей метод можна вважати усмовно кращим для знаходження коефіцієнтів ємпірічної залежності.

Похожие статьи




Практична частина до методів апраксимації - Визначення наявності лінійного зв'язку між в'язкістю та теплоємкістю

Предыдущая | Следующая