Свойства вероятности, Теоремы нахождения вероятности "событий" - Основные понятия теории вероятностей

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно,

Р (A) = m / n = n / n = 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно: вероятность численный теорема

Р (А) = m / n = 0 / n = 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно:

0 < Р (А) < 1

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

0 <= Р (A) < 1.

Далее приведены теоремы, которые позволяют по известным вероятностям одних событий находить вероятности других событий.

Теоремы нахождения вероятности "событий"

Современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Ограничимся изложением на языке теории множеств тех понятий, которые рассмотрены выше.

Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий wi, (i = 1, 2, ..., n). События wi, называют элементарными событиями (элементарными исходами). Уже отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий W, а сами элементарные события - точками пространства W.

Событие А отождествляют с подмножеством (пространства W), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество W, элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т. д. Таким образом, множество всех событий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножеств W. Само W наступает при любом исходе испытания, поэтому W - достоверное событие; пустое подмножество пространства W - невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).

Заметим, что элементарные события выделяются из числа всех событий тем, что каждое из них содержит только один элемент W.

Каждому элементарному исходу wi, ставят в соответствие положительное число pi - вероятность этого исхода, причем

По определению, вероятность Р(А) события А равна сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Отсюда легко получить, что вероятность события достоверного равна единице, невозможного - нулю, произвольного - заключена между нулем и единицей.

Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновозможны. Число исходов равно n, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1 / n. Пусть событию А благоприятствует m исходов. Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:

Р (А) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n.

Учитывая, что число слагаемых равно m, имеем

Р (А) = m / n.

Получено классическое определение вероятности.

Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А. Н. Колмогоровым, неопре-деляемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Приведем аксиомы, определяющие вероятность:

    1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р (А). Это число называется вероятностью события А. 2. Вероятность достоверного события равна единице:

P(W) = l.

3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.

Похожие статьи




Свойства вероятности, Теоремы нахождения вероятности "событий" - Основные понятия теории вероятностей

Предыдущая | Следующая