Свойства вероятности, Теоремы нахождения вероятности "событий" - Основные понятия теории вероятностей
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно,
Р (A) = m / n = n / n = 1.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно: вероятность численный теорема
Р (А) = m / n = 0 / n = 0.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно:
0 < Р (А) < 1
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
0 <= Р (A) < 1.
Далее приведены теоремы, которые позволяют по известным вероятностям одних событий находить вероятности других событий.
Теоремы нахождения вероятности "событий"
Современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Ограничимся изложением на языке теории множеств тех понятий, которые рассмотрены выше.
Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий wi, (i = 1, 2, ..., n). События wi, называют элементарными событиями (элементарными исходами). Уже отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий W, а сами элементарные события - точками пространства W.
Событие А отождествляют с подмножеством (пространства W), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество W, элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т. д. Таким образом, множество всех событий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножеств W. Само W наступает при любом исходе испытания, поэтому W - достоверное событие; пустое подмножество пространства W - невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).
Заметим, что элементарные события выделяются из числа всех событий тем, что каждое из них содержит только один элемент W.
Каждому элементарному исходу wi, ставят в соответствие положительное число pi - вероятность этого исхода, причем
![](/images/image001-2124.png)
По определению, вероятность Р(А) события А равна сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Отсюда легко получить, что вероятность события достоверного равна единице, невозможного - нулю, произвольного - заключена между нулем и единицей.
Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновозможны. Число исходов равно n, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1 / n. Пусть событию А благоприятствует m исходов. Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:
Р (А) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n.
Учитывая, что число слагаемых равно m, имеем
Р (А) = m / n.
Получено классическое определение вероятности.
Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А. Н. Колмогоровым, неопре-деляемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Приведем аксиомы, определяющие вероятность:
- 1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р (А). Это число называется вероятностью события А. 2. Вероятность достоверного события равна единице:
P(W) = l.
3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.
Похожие статьи
-
Введение - Основные понятия теории вероятностей
Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии...
-
Пусть - один и тот же опыт повторяется n-раз, не зависимо от результатов; в любом опыте может наступить событие А с вероятностью p, либо событие A с...
-
ТВ-раздел математики, в которой используются различные разделы математики для своего развития. Задача: выяснение закономерностей, возникающих при...
-
Вопросы по теории вероятностей - Случайные величины
Основные понятия теории вероятностей: события, вероятность события, частота события, случайная величина. Сумма и произведение событий, теоремы сложения и...
-
Заключение - Основные понятия теории вероятностей
Эмпирическое "определение" вероятности связано с частотой наступления события исходя из того, что при достаточно большом числе испытаний частота должна...
-
ФУНКЦИИ, Основные понятия - Свойства функций
Основные понятия При изучении различного рода явлений приходится иметь дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой таким...
-
События А и В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)*Р(В). Пусть например бросаются две монеты; А-выпадение "герба" при первом бросании, В-выпадение...
-
Вероятность - математическая оценка возможности появления это события в результате опыта - обозначается Р (А).- при условии :0 ?Р (А)?1, Р (?...
-
Основные понятия и обозначения Динамическое программирование как самостоятельная дисциплина сформировалась в пятидесятых годах двадцатого века. Большой...
-
Классический способ задания вероятности. Примеры, Элементы комбинаторики - Теория вероятности
При данном способе пространство элементарных событий является конечным, и все элементарные события равновероятны. Тогда вероятность события определяется...
-
Математическим ожиданием случайной величины х (М[x])называется средне взвешенно значение случайной величины причем в качестве весов выступают вероятности...
-
Конкретные модели процессов управления в социальных и экономических системах исходят из общей методологии, которую и формулируем в настоящей статье....
-
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, - распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний,...
-
Опытом называется всякое осуществление определенных условий и действий, при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Опыты можно характеризовать...
-
Пусть { , , ..., } - множество возможных состояний некоторой физической системы. В любой момент времени система может находиться только в одном...
-
Понятие числовой последовательности - Свойства функций
Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел . Если функцию задать на множестве натуральных...
-
Непрерывные величины - возможные значение, которых непрерывно заполняют некоторый диапазон. Плотность распределения вероятности непрерывной случайной...
-
В теории чисел большую роль играет числовая функция, называемая функцией Эйлера. Определение 3.1. Функцией Эйлера называется функция, определенная на...
-
Контрольная работа По дисциплине: Теория вероятностей Контрольная работа № 1 Вариант 1 Задача № 1 Условие: Из 10 изделий, среди которых 4 бракованные,...
-
Сходящиеся последовательности, Основные свойства сходящихся последовательностей: - Свойства функций
Говорят, что Последовательность сходится, если существует число такое, что для любого существует такое , что для любого , выполняется неравенство: ....
-
В данной работе доказывается методами элементарной математики "большая" или "последняя" теорема Ферма. Некоторая, излишняя в обычных случаях, подробность...
-
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КОММИВОЯЖЕРЕ МЕТОДОМ ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ: ОСНОВНАЯ СХЕМА - Задача коммивояжера
Пусть - конечное множество и - вещественно-значная функция на нем; требуется найти минимум этой функции и элемент множества, на котором этот минимум...
-
Пусть требуется разыграть испытания в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р и не появляется с вероятностью 1-р [4]. Заменим...
-
Модель в общем смысле (обобщенная модель) есть создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа,...
-
Ответ: Функция y=arctgx, ее график, свойства Ответ: Функция y=arcctgx, ее график, свойства Ответ: Решение уравнений sinx=a, частные случаи Ответ:...
-
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Предположим, что в условиях схемы Бернулли проводится испытаний, в результате каждого из которых с вероятностью () происходит событие. Интегральная...
-
Комплексные соединения - соед-я, обр-ся сочетанием нескольких, способных к существованию ионов, сост. из атома в опр. валентном сост-ии, связ. с одной...
-
Законы распределений дискретных случайных величин. - Распределение вероятности случайных величин
Пусть некоторая СВ является дискретной, т. е. может принимать лишь фиксированные (на некоторой шкале) значения X I. В этом случае ряд значений...
-
Принцип сходимости, Предел функции. Теорема Гейне - Свойства функций
Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга. Лемма Кантора ....
-
Модели теории игр. Основные определения и термины В разных областях целенаправленной деятельности, например при разработке и эксплуатации АСУ, часто...
-
К основным понятиям и категориям статистической науки относятся следующие: - совокупность, - признак, - показатель, - система показателей и др....
-
Основные понятия информационного моделирования - Понятие об информационном моделировании
Остановимся на информационных моделях, отражающих процессы возникновения, передачи, преобразования и использования информации в системах различной...
-
Основные понятия сетевых и графовых моделей Объектом исследования является сеть, состоящая из узлов и линий связи. Предполагается, что в сети имеется два...
-
Следствия теоремы, Послесловие к доказательству - Об одной теореме теории чисел
Не существует ЦЕЛЫХ чисел, для которых выполняется равенство (1). При четных значениях показателя степени уравнение вида (1) идентично как для...
-
Математическое ожидание, дисперсия Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными...
-
Взаимосвязи случайных событий - Основы теории систем и системного анализа
Вернемся теперь к вопросу о случайных событиях. Здесь методически удобнее рассматривать вначале простые события (может произойти или не произойти)....
-
В 1930 году Дж. Биркгофом и Дж. фон Нейманом была сформулирована и доказана одна из основных эргодических теорем - теорема о предельных вероятностях:...
-
Обозначим вероятность соответствующих событий через Pi - Случайные величины
, Так как рассматриваемые события образуют полную группу не совместных событий, то Х полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим...
-
ТЕМПЕРАТУРА - Основные положения молекулярно-кинетической теории, ее опытные обоснования
Любое макроскопическое тело или группа макроскопических тел называется термодинамической системой. Тепловое или термодинамическое равновесие - такое...
-
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ХИМИИ, Атомно-молекулярное учение - Основные понятия и законы химии
Химия - наука о веществах, закономерностях их превращений (физических и химических свойствах) и применении. В настоящее время известно более 100 тыс....
Свойства вероятности, Теоремы нахождения вероятности "событий" - Основные понятия теории вероятностей