Различные способы формализации экономико-математических и технических систем - Применение экономико-математических методов и моделей в управлении производством (на примере КУП "Спецкоммунтранс")

Наиболее ранним способом формализации экономико-математических и ТС является представление физических явлений с помощью систем дифференциальных уравнений. [2] На основании известных аналогий удается получить явный вид функций 1 и 2 в соотношениях вида (1). Примером такой аналогии могут служить гармонические колебания. Пусть (t) - отклонение центра масс (ЦМ) пружинного маятника от положения равновесия в момент t, m - его масса, 0(t) - сила, действующая на маятник пружины. (0 - жесткость пружины). Тогда дифференциальное уравнение колебания маятника имеет вид:

. (2)

Обозначив, (t)=z получим общий вид уравнения гармонических колебаний:

. (3)

Итак, мы получили аналитическую ММ, позволяющую нам прогнозировать поведение маятника в зависимости от параметров m и (массы и жесткости пружины). Как видим, в ММ данного класса, в зависимости от сложности процесса, исследователь получает либо численное решение, либо аналитическое. Обычно ММ данного класса применяются для выполнения технических расчетов.

Вторым способом формализации ТС является аппарат математического программирования. В общем случае ММ математического программирования имеют вид:

Найти (4)

При ограничениях,

Где - целевая функция (ц. ф.) или показатель эффективности, , - векторы входных величин и неуправляемых переменных, GJ - функции потребления j-го вида ресурсов, bJ - граничные значения j-го вида ресурсов. В зависимости от вида ц. ф. E и ограничений Gj различают следующие классы ММ математического программирования:

    - если, есть линейные функции, то это ММ линейного программирования; - если, - нелинейные функции, то мы имеем дело с ММ нелинейного программирования;
    - когда ц. ф. имеет специальную структуру, является аддитивной функцией () или мультипликативной функцией (), то это ММ динамического программирования; - если ц. ф. и ограничения есть функции-полиномы, то это ММ геометрического программирования;

- когда вектор неуправляемых переменных Z случаен, но имеет место зависимость вида при вероятностных ограничениях типа

, (5)

,

Где MZ - математическое ожидание по z, I - уровень значимости по j-му ограничению, то это ММ стохастического программирования;

    - если на переменные xJ наложено условие дискретности их значений, то мы имеем дело с ММ дискретного программирования; - наконец, когда в ММ точный оптимум алгоритмическим путем найти невозможно из-за очень большого числа вариантов перебора, тогда мы имеем дело с ММ эвристического программирования.

В этих случаях исследователь отказывается от поиска оптимума и удовлетворяется лучшим вариантом из рассмотренных. При этом он пользуется специальными приемами решения ("эвристиками"), которые позволяют существенно сократить число рассматриваемых вариантов.

Третьим способом формализации ТС является метод сетевого планирования. ММ этого класса позволяют отображать объем предстоящих работ на предприятии или в строительной организации, их взаимосвязи и последовательность их выполнения. ММ сетевого планирования изображаются в виде единого графа, в котором узлами являются состояния комплекса работ, а дугами изображаются сами работы. Целью моделирования является поиск узких мест в комплексе работ и выделение напряженных участков в сетевом графике их выполнения, а также поиск резервов ресурсов и времени выполнения отдельных работ для перераспределения по другим участкам. Второй класс таких ММ - это, собственно, модели на графах, использующие для формализации аппарат теории графов. Цели моделирования могут, в частности, быть: поиск кратчайшего пути между вершинами неориентированного графа, построение графа наименьшей длины, определение максимального потока в сети.

Четвертым способом формализации ТС являются системы массового обслуживания (СМО). В основу построения ММ СМО положено наличие: однотипных действий для массового потребителя, требующих простейшего обслуживания; очередей требований (TR) на обслуживание; дисциплин обслуживания TR. Очереди образуются из-за того, что поток TR на обслуживание неуправляем и случаен. Различаем следующие типы СМО, определяющие поведение TR в тех случаях, когда обслуживающее устройство или прибор СМО (ОУ) занят в момент прихода TR:

    - ожидает в очереди (СМО с ожиданием); - покидает систему без обслуживания (СМО с отказами); - имеют место ограничения на время ожидания (tОж) или длину очереди (lОч), после чего TR покидает СМО необслуженным (СМО смешанного типа).

Основными элементами формализации ТС методами СМО являются TR и ОУ. При этом на ОУ имитируется задержка TR длительностью равной времени их обслуживания (tОбс), которое в общем случае может быть случай ной величиной. В последнем случае говорят, что ТС отображается стохастической СМО. Перемещение TR по СМО осуществляется по определенным правилам (дисциплинам обслуживания). Для оценки эффективности ТС, моделируемой в виде СМО, задаются различные показатели эффективности вариантов организации ТС. Весь процесс моделирования сводится к поиску узких мест в системе. В качестве критериев эффективности, с точки зрения организации ТС, ищутся места, где коэффициент использования i-го ОУ обслуживанием TR (I) максимален и при этом lОчi и tОжi также максимальны. А с точки зрения пользователей ТС определяется время жизни TR в системе. Тот вариант ТС является лучшим, у которого среднее время жизни транзактов j-го типа (tЖj) будет минимальным. Основными варьируемыми величинами являются либо параметры входного потока (TRJ) на СМО, характеристики обслуживающих приборов (tОбсi), организация самой ТС, ее структура и взаимосвязи ОУ между собой, либо комбинации перечисленных характеристик ТС.

Пятым способом формализации ТС являются модели теории игр. Они используются тогда, когда две или несколько сторон преследуют разные цели и результат этого столкновения характеризуется выигрышем одной из сторон. На ММ теории игр вырабатываются рекомендации для действий сторон (противников в игре) в ходе конфликтной ситуации. Строится упрощенная игровая ММ (без привходящих факторов), которая от реальности отличается тем, что ведется по вполне определенным правилам. Стороны, участвующие в игре, называются игроками. Каждый из них придерживается одной или нескольких стратегий. Стратегией называют совокупность правил, определяющих выбор при каждом ходе данного игрока в зависимости от ситуации, сложившейся во время игры. Выигрыши Ij стратегии i игрока A при стратегии j игрока B составляют матрицу игры. Целью моделирования является поиск оптимальных стратегий поведения игроков, обеспечивающих им при многократных повторах игры максимальные средние выигрыши.

Когда вероятностная природа переменных ТС, и такова, что очень трудно сформулировать задачу в виде аналитической или численной ММ, то применяются вероятностные методы формализации. Различают три основных класса вероятностных ММ:

    - марковские модели случайных процессов; - модели на основе метода Монте-Карло; - имитационные модели (ИМ).

Первый класс ММ использует специальный аппарат представления ТС, когда удается описать динамику ее функционирования с помощью аппарата событий и перехода ТС из состояния в состояние. Задаются вероятности Pij перехода ТС из i-го состояния в j-ое состояние, распределения времени нахождения ТС в этих состояниях. Целью моделирования является анализ вероятностей перехода в различные состояния из некоторого начального состояния и нахождение средних значений времен, требуемых для этого перехода.

Второй класс вероятностных ММ применяется в том случае, когда исследователю легче производить "розыгрыш" сложных явлений в ТС с помощью стандартной процедуры, чем описывать случайные процессы в ТС с помощью систем дифференциальных уравнений (которые зачастую еще и трудно решаются). Результатом моделирования по методу статистических испытаний являются усредненные характеристики случайного процесса в ТС. При этом число статистических испытаний (N) заранее рассчитывается из требуемой точности оценки параметров случайного процесса в ТС при одном и том же значении переменных во всех N опытах на ММ. Также как и в реальности конкретная реализация случайного процесса в ТС при l-ом опыте каждый раз складывается по-разному из-за случайного характера параметров ТС. В результате получают N копий случайного процесса, по которым затем находят основные характеристики поведения ТС:

    - вероятности событий в ТС ; - математические ожидания и дисперсии отклика.

Для третьего класса вероятностных ММ не требуется преобразование алгоритма поведения компонентов ТС в специальную систему уравнений искомых величин. Иногда достаточно имитировать сами явления с сохранением их логической структуры, последовательности их чередования во времени. В ходе имитации явлений фиксируется статистика поведения компонентов ТС, по которой затем можно определить все необходимые характеристики функционирования ТС. Поскольку результаты имитации являются также случайными реализациями процесса, то для нахождения объективных и устойчивых характеристик явления необходимо его многократное повторение с последующей статистической обработкой результатов имитации. По этой статистике можно вычислить значения любого функционала, заданного на множестве реализаций ТС.

Похожие статьи




Различные способы формализации экономико-математических и технических систем - Применение экономико-математических методов и моделей в управлении производством (на примере КУП "Спецкоммунтранс")

Предыдущая | Следующая