Моделирование процесса теплопроводности - Компьютерное моделирование физических процессов и явлений, как метод научного познания

В качестве примера модели, в основе которой лежит уравнение матфизики, рассмотрим модель распространения тепла в однородном стрежне. Задача теплопроводности.

Процесс теплопроводности возникает, если тело неоднородно нагрето. Простейшая для изучения теплопроводности система - линейный однородный стержень. В простой модели боковая поверхность стержня считается теплоизолированной, т. е. через нее нет обмена теплом с окружающей средой.

Обозначим температуру стержня в точке с координатой х в момент времени t через u(x, t). Уравнение теплопроводности имеет вид

Где а - коэффициент температуропроводности, зависящий в первую очередь от вещества, из которого сделан стержень.

Уравнение теплопроводности сопровождается начальными и краевыми условиями, делающими постановку задачи физически однозначной Напомню, что если для дифуравнения заданы начальные условия (условия в начальный момент времени), то такая задача называется задачей Коши, если же заданы краевые условия (на границах исследуемой области), то такая задача называется краевой задачей, если заданы и начальные и граничные условия, то мы имеем смешанную краевую задачу. Начальное условие задает распределение температуры в стержне в начальный момент времени (считаем его равным нулю):

U(x,0) = ц(x)

Краевые условия (их должно быть в данном случае два) указывают, в простейшем варианте, какая температура поддерживается на концах стержня:

U(0,t)=ш0(t), u(l, t)=шl(t) (24)

Заметим, что начальные и граничные условия должны быть согласованы, т. е.

U(0,0) = ц(0)=ш0(0) (25)

U(l,0) = ц(l)=шl(0) (26)

Моделирование процесса теплопроводности связано с дискретизацией как временного изменения температуры, так и пространственного.

Введем равномерную прямоугольную сетку с помощью координатных линий

Xi=ih, i=0,1,....n (27)

Tj=jф, j=0,1,....m (28)

Где h - это шаг по пространству, по координате х, а ф - шаг по времени.

Значения функции в узлах сетки обозначим uij=u(xi, tj).

Получилась явная разностная схема, удобная в применении, но устойчивая лишь при выполнении условия

Это следует учитывать, выбирая шаги по времени и пространству.

Совокупность узлов в фиксированный момент времени называется слоем.

Построенная схема позволяет нам находить значение функции температур на j+1 слое через значения на j слое. Для начало счета при j=0 необходимо знать значения функции температур на нулевом слое. Они нам известны из начальных условий.

Если использовать другие конечно разностные соотношения для аппроксимации производных,

То получим существенно более устойчивую неявную схему

Или

В отличие от явной схемы каждое разностное уравнение второй схемы содержит на каждом новом слое три неизвестные значения, которые невозможно определить сразу же, как мы поступали в явной схеме. При этом вторая разностная схема состоит из линейных трех точечных уравнений, т. е. каждое уравнение содержит неизвестную функцию в трех точках нового слоя. Такие системы линейных уравнений, системы с трехдиагональной матрицей, могут быть легко решены методом прогонки. Таким образом, в случае неявной схемы, чтобы посчитать значения функции температур в каждый следующий момент времени, т. е., чтобы перейти на следующий слой по времени, необходимо каждый раз решать методом прогонки линейную систему.

Похожие статьи




Моделирование процесса теплопроводности - Компьютерное моделирование физических процессов и явлений, как метод научного познания

Предыдущая | Следующая