Математическая модель роста экономики региона, Описание модели, Построение математической модели - Математическая модель роста экономики Краснодарского края

Описание модели

Экономические агенты, участвующее в модели:

    1) производство 2) население 3) центральный банк 4) администрация региона

Создадим однопродуктовую модель, в которой производство осуществляет одно предприятие. Предприятие стремится к максимальной прибыли. Также в модели нет посредников, и никто не занимается перепродажей, товары покупаются по оптовой цене p(t). В модели существуют один банк, который диктует ставку процента, кредитует и обслуживает счета.

На предприятии работает население, которое получает заработную плату из доходов предприятия.

W(t)-заработная плата в единицу времени;

Часть заработной платы население тратит на покупку товаров, а часть сберегает и кладет в банк под проценты.

R1(t)-ставка банковского процента под вклады;

Клиентами банка становятся производители, которые берут ссуду у банка на производство s(t). Администрация региона осуществляет управление и устанавливает налоги v(t).

Построение математической модели

Пусть Y(t)-величина выпуска продукции за единицу времени, а производственной функцией Кобба-Дугласа зададим производственные возможности предприятия:

Y(t)=A*L(t)A*K(t)B. (12)

Прибыль предприятия равняется выручке за вычетом затрат на производство и отчислений по налогам.

В данный момент, предприятие выпуска продукцию на деньги банка, но получив прибыль расплачивается с долгами и процентами на них.

R2(t)-ставка процента банка под кредит C(t);

Поведение производителя можно описать дифференциальным уравнением:

S'(t)=r2(t)s(t)+C(t)-hd(t), (13)

S(0)=s0.

Общий объем задолженности банку увеличивается за счет кредитов C(t) и начисления по процентам r2(t), а уменьшатся за счет погашения hd(t), где d(t)-текущий счет в банке, а коэффициент h:

0<h<1.

Банку требуется обеспечение выданных кредитов, обеспечением служат такие активы производства, как основной капитал.

Изменение капитала зависит от инвестиционной привлекательности производства за вычетом расходов на амортизацию:

K'(t)=-µK(t)+bY(t),

K(0)=K0, (14)

Где b-коэффициент инвестиционных отчислений и принадлежит промежутку:

0?b<1, а µ-коэффициент амортизации капитала, где µ (0?µ?1).

Часть прибыли возвращается в производство в виде инвестиций, и частично оседает на банковском счету d(t). Уравнение счета производителей будет выглядеть следующим образом:

D'(t)=(r1(t)-h)d(t)+z(1-v(t))[(1-a)(1-b)p(t)Y(t)-w(t)L(t)]+C(t),

D(0)=d0, (15)

Где a и b, коэффициенты из производственной функции Кобба-Дугласа,

A-коэффициент материальных затрат

B-коэффициент поступлений инвестиций, а z-коэффициент пополнения банковского счета.

Производители могут как пополнять свой счет, так и снимать вложенные средства с процентами hd(t).

Лимитирующим фактором производства является труд. Для описания уравнением труда, возьмем логистическое уравнение Ферхюльста:

L(0)=L0. (16)

Добавим к этому уравнению функцию миграции по труду:

(17)

Где n(t) - функция роста населения, ?(t) - функция миграции.

Начальные уравнения заданы, теперь нам надо прописать взаимосвязь между ними. Имеем ввиду, что в модели деятельность производства направлена на получение максимальной прибыли, деятельность населения на получение максимальных доходов (заработной платы), банк же нацелен на получение прибыли, от своей деятельности. А экономический интерес государства определяется его собственностью на землю, предприятия, налоговые поступления и прочее.

Начнем с прибыли банка, которая получается из прибыли по кредитным операциям и по операциям по счетам.

Целью банковской системы служит максимизация дисконтированных финансовых потоков за цикл деятельности T:

(18)

Управляющей функцией банка может служить функция начисления процентов на невыплаченную часть долга r2(t) или функция начисления процентов по вкладу r1(t).

Производственные отношения выражаются в предположении, что производитель так регулирует уровень производства, чтобы извлечь из него по больше прибыли.

Целью предприятий служит максимизация дисконтированной прибыли производства за цикл деятельности T:

(19)

Управляющей функцией производства может служить p(t), где 1?p(t)?Pmax. А также функция w(t), которая определяет уровень доходности нанятой рабочей силы.

Под рабочей силой, понимаем ту часть населения, которая занята в производстве. Рабочие получают своих доход от производителей и тратят свой доход на потребление. Тогда функцией потребительского спроса будет m(t), с помощью которой находим максимум потребления:

(20)

Она же является управляющей функцией, коэффициент которой находится в пределах:

0<m(t)<1 (21)

Деятельность администрации описывается налоговыми поступлениями:

(22)

Управляющей функцией администрации региона служит ставка налога на прибыль v(t).

Рассмотрим математическую модель принятия оптимального решения одновременно по нескольким критериям, учитывая интересы каждого из экономических агентов. Задача оптимального управления примет вид:

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

, (32)

Где NB, NO, NT, NG - весовые коэффициенты линейной комбинации критериев, которые удовлетворяют условию:

NB+ NO+ NT+ NG=1. (33)

Функции управления многокритериальной задачи: r2(t), r1(t),w(t),p(t), m(t), v(t).

Остальные переменные: K(t),L(t), s(t),d(t), выступают как фазовые с естественными для экономических величин ограничениями:

0?K(t)?Kmax, 0<Lmin? L(t)? Lmax, s(t)?0, d(t)?0. (34)

Многокритериальная задача была формализована как задача оптимального управления

Похожие статьи




Математическая модель роста экономики региона, Описание модели, Построение математической модели - Математическая модель роста экономики Краснодарского края

Предыдущая | Следующая