Виды проецирования - Основы моделирования геометрических объектов

Одно из основных геометрических понятий - отображение множеств. В начертательной геометрии каждой точке трехмерного пространства ставится в соответствие определенная точка двумерного пространства - плоскости. Геометрическими элементами отображения служат точки, линии, поверхности пространства. Геометрический объект, рассматриваемый как точечное множество отображается на плоскость по закону проецирования. Результатом такого отображения является изображение объекта.

В основу любого изображение положена операция проецирования, которая заключается в следующем. В пространстве выбирают произвольную точку S(рис.1.1) в качестве центра проецирования и плоскость ПI, не проходящая через точку S, в качестве плоскости проекций ( картинной плоскости). Чтобы спроецировать точку А на плоскость ПI , через центр проецирования S проводят луч SА до его пересечения с плоскостью ПI в точке АI. Точку АI принято называтьцентральной проекцией точки А, а луч SА - проецирующим лучом. Описанные построения выражают суть операции, называемой центральным проецированием точек пространства на плоскость. В евклидовом пространстве существуют точки, которые не имеют центральных проекций, и наоборот в плоскости ПI есть точки, которые в пространстве не имеют оригиналов (точки D и F).

Точка F прямой m принадлежит плоскости, ?, проходящей через центр проецирования S и расположенной параллельно плоскости проекций, таким образом проецирующий луч SF параллелен плоскости проекций, а точка F, как и все точки лежащие в плоскости ? не имеют центральных проекций на ПI.

центральное проецирование

Рисунок 1.1. Центральное проецирование

Точка DI проекции прямой mI не имеет оригинала на прямой m, так как проецирующий луч SDI параллелен прямой.

Для исключения подобных случаев евклидово пространство расширяют введением несобственных (бесконечно удаленных) точек. Такое пространство называется расширенным евклидовым пространством.

Проецирующие лучи, проведенные через все точки кривой n, образуют проецирующую коническую поверхность N (рис. 1.2). Проекция криволинейной фигуры, таким образом, представляет собой линию пересечения проецирующей поверхности N и плоскости проекций ПI.

центральное проецирование линии

Рисунок 1.2. Центральное проецирование линии

центральное проецирование поверхности

Рисунок 1.3. Центральное проецирование поверхности

Коническую поверхность К образуют лучи и при проецировании трехмерной фигуры (рис. 1.3). Линию KI принято называть в этом случая очерковой или очерком данной фигуры.

Центральное проецирование есть наиболее общий случай проецирования геометрических объектов на плоскости.

Основными и неизменными его свойствами (инвариантами) являются следующие:

    1) проекция точки - точка; 2) проекция прямой - прямая; 3) если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.

По принципу центрального проецирования работают фотоаппараты и кинокамеры. Упрощенная схема работы человеческого глаза близка к этому виду проецирования: роль центра проецирования выполняет оптический центр хрусталика, роль проецирующих прямых - лучи света; плоскостью проекций служит сетчатка глаза. Поэтому изображения, построенные по принципу центрального проецирования, наиболее наглядны и их широко используют в своей работе художники, архитекторы, дизайнеры и многие другие специалисты.

параллельное проецирование

Рисунок 1.4 Параллельное проецирование

Частный случай центрального проецирования - параллельное проецирование, когда центр проецирования удален в бесконечность, при этом проецирующие лучи можно рассматривать как параллельные проецирующие прямые. Положение проецирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецирования S (рис.1.4). В этом случае полученное изображение называют параллельной проекцией объекта.

При параллельном проецировании сохраняются свойства центрального и добавляются следующие:

    1. проекции параллельных прямых параллельны между собой; 2. отношение отрезков прямой равно отношению их проекций; 3. отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций.

В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные, когда проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекций, и косоугольные, когда направление проецирования образует с плоскостью проекций угол не равный 900.

Таким образом ортогональное (прямоугольное) проецирование является частным случаем параллельного и полученная этим методом проекция объекта называется ортогональной.

Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного и центрального проецирования и кроме того, справедливатеорема о проецировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.

К проекционным изображениям в начертательной геометрии предъявляются следующие основные требования:

    1. Обратимость - восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) - возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой; 2. Наглядность - чертеж должен создавать пространственное представление о форме предмета; 3. Точность - графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты; 4. Простота - изображение должно быть простым по построению и должно допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.

Похожие статьи




Виды проецирования - Основы моделирования геометрических объектов

Предыдущая | Следующая