Второй способ: функционал с ограничением на компенсацию полюсов, реализация через переменные состояний - Проблемы конструирования устойчивой системы автоматического управления

Воспользуемся теперь для поиска решения функционалом (2.13).

Пространство операторов

В рассматриваем примере добавка (2.12) может быть представлена:

Заметим, что для упрощения решения можно заменить

В оценке на

.

Сходимость оценки

Обеспечит наличие мнимых полюсов объекта управления в числителе, т. е. в полиноме, что, учитывая (2.8), приведет к отсутствию подобных полюсов в числителе регулятора.

Приведем общий вид используемого критерия:

Тогда уравнение Винера-Хопфа примет вид:

Выпишем в явном виде:

Для того, чтобы проанализировать влияние на получающийся регулятор и свойства системы, было реализовано автоматизированное решение уравнения Винера-Хопфа с, записанными выше (Приложение А, Листинг 2). Предполагается, что, при должной настройке, эти функции можно будет использовать для анализа подобных задач и их решений - основная проблема конструирования подобного комплекса инструментов заключается в распределении нулевых полюсов и нулей при факторизации и сепарации.

Приведем решение, полученное при :

Найдем корни :

Наличие полюсов объекта управлении в разности сигнализирует о правильности решения - при вычислении соответствующие корни следует сократить.

Найдем теперь корни характеристического полинома сконструированной системы:

Можно утверждать, что система устойчива - все корни характеристического полинома лежат в левой полуплоскости. Степень же устойчивости равна.

Схема модели аналогична схеме на рис. 5.

Приведем теперь графики, с помощью которых удобно анализировать влияние значения веса на сконструированную систему.

Графики были построены поточечно с шагом в. Разрывы графика появлялись там, где значения соответствующих оценок, т. е.

Для рис. 11 и

Для рис. 12 принимали значения. Проблема появления таких значений заслуживает отдельного исследования и лежит вне рамок данной работы. В качестве вероятных причин можно назвать неспособность Matlab посчитать эти интегралы аналитически, либо же наличие полюсов в пределах интегрирования, приводящих к расхождению интеграла. Тогда, возможно, имеет смысл найти главные значения соответствующих интегралов. Также стоит в указанных случаях вычислить индикатор совместимости исходных данных Винера-Хопфа.

Продолжим анализ построенных графиков. Как видно из рис. 10 мы можем улучшить степень устойчивости с помощью увеличения веса. Но подобный выигрыш требует своей цены - из рис. 11-12 видно, что с ростом веса ухудшаются желаемые качества системы, сформулированные в постановке.

Таким образом было установлено, что функционал вида (2.13) позволяет решить поставленную задачу в пространстве операторов, а также дает поле для маневрирования при нахождении регулятора - конструктор, используя графики на рис. 10-12, может, выбирая значение, получить систему с желаемыми оптимальными в силу каких-либо условий параметрами.

Пространство состояний

Для того, чтобы реализовать добавку (2.12) необходимо расширить фазовое пространство новыми переменными.

Для этого нам надо ввести такую переменную

Обратимся к рис. 4. Нам надо дополнить схему так, чтобы у нас появился такой выход, что передаточная функция для него относительно входа будет иметь вид:

(3.2)

Запишем выражение относительно сигнала и желаемого выхода :

Чтобы получить соотношение (3.2) следует пропустить сигнал через звено. Найдем его реализацию в пространстве состояний:

Из постановки

.

Тогда

Найдем теперь матрицу передаточных функций системы:

Отсюда следует, что в качестве надо выбрать.

Приведем теперь структурную схему расширенной системы:

Новый критерий примет вид:

Запишем теперь все данные, необходимые для решения задачи с помощью функции build_regulator7dim (Приложение А Листинг 1):

Проведем анализ свойств системы:

Условия, указанные в теореме, не выполняются.

Доведем решение до конца:

Выпишем передаточную функцию:

Построенный таким образом регулятор сам оказался неустойчив - его характеристический полином (т. е. ) содержит корни, лежащие на мнимой оси: . Модель для данного случая не конструировалась в силу своей громоздкости.

Таким образом было установлено, что использование функционала (2.13), т. е. реализация добавки (2.12) через расширение фазового пространства, не позволило решить задачу в пространстве оригиналов.

Похожие статьи




Второй способ: функционал с ограничением на компенсацию полюсов, реализация через переменные состояний - Проблемы конструирования устойчивой системы автоматического управления

Предыдущая | Следующая