Конструирование функционала - Проблемы конструирования устойчивой системы автоматического управления

Основная часть алгоритма - не связанная с математическими сложностями вычисления решений уравнений Риккати и Винера-Хопфа - заключается в составлении правильного функционала и решении задачи с его помощью.

Так как было установлено, что функционалы (2.7) и (2.9) не позволяют решить поставленную задачу, возникает вопрос о там как именно стоит их модифицировать, чтобы сконструированный регулятор обладал стабилизирующим свойством.

Для того, чтобы разрешить проблему, мы проанализируем свойства, которыми должен быть обладать регулятор, дополним функционал в операторной постановке задачи и приведем способ его перевода в постановку пространства состояний. Используя полученные выводы можно будет провести сравнительную оценку практического хода решения задачи в обоих пространствах, а также проверить составленные функционалы на адекватность относительно желаемых свойств сконструированной системы (глава 3).

Вернемся к постановке задачи. Нам требуется построить линейный квадратичный регулятор, который бы:

A) обеспечивал минимум воспроизведения задающего воздействия, т. е. минимизировал,

B) обладал стабилизирующим свойством.

Первое условие уже учитывается в базовом функционале в обоих постановках. Рассмотрим техническую сторону второго требования. Стабилизирующий регулятор должен обеспечивать свойство устойчивости в системе. Систему мы считаем устойчивой, если она обладает этим свойством по начальным условия и по входу. Заметим, что - на основании критериев - устойчивость по начальным условиям следует из устойчивости системы по входу - так как указанное имеет место при устойчивости характеристического полинома системы. Таким образом регулятор должен обеспечить две вещи:

A) устойчивость характеристического полинома системы,

B) свою строгую реализуемость.

Строгая реализуемость регулятора обеспечивается второй составляющей критерия (2.9). Чтобы

Необходимо, чтобы степень полиномов в числителе элементов матрицы как минимум не превосходила степени полиномов в знаменателе.

Для устойчивости характеристического полинома системы необходимо и достаточно, чтобы все его корни имели отрицательную действительную часть. В случае, если построенный регулятор компенсирует находящиеся на мнимой оси нули или полюса объекта управления, полином становится неустойчивым, так как у него появляются корни, не удовлетворяющие критерию.

Рассмотрим одномерный случай. Запишем характеристического уравнение нашей замкнутой системы:

Тогда, полагая

,

Запишем уравнение для поиска корней характеристического полинома:

Пусть - находящиеся на мнимой оси и компенсируемые построенным регулятором нули и полюса объекта управления, тогда:

Отсюда

Как мы видим, если регулятор компенсирует находящиеся на мнимой оси нули или полюса управляющего объекта, они автоматически станут корнями характеристического полинома системы и, как результат, мы получим неустойчивую систему.

Таким образом нам необходимо дополнить функционал (2.9) таким образом, чтобы он исключал возможность возникновения рассмотренной выше ситуации.

Заметим, что критерий (2.9) уже ограничивает возможность компенсации нулей управляющего устройства. Вторая его составляющая

Конечна, если не имеет полюсов на мнимой оси. Таким образом ограничение на компенсацию регулятором правых нулей объекта управления уже учтено как в пространстве операторов, так и в пространстве состояний. Проверим это утверждение для одномерного случая:

Из условия сходимости оценки должен компенсировать лежащие на мнимой оси нули полинома. Как итог - они не попадут в знаменатель.

Итак, было установлено, что функционал необходимо пополнить условием, которое бы ограничивало компенсацию регулятором мнимых полюсов устройства управления.

Для избавления от возникающей негрубости системы можно ввести в функционал (2.9) с малым весом оценку для следующего выражения:

(2.11)

Для ограниченности ее оценки, т. е.

(2.12)

Необходимо, чтобы полюса выражения (2.11) не лежали на мнимой оси. Обратимся к одномерному случаю:

Сформулированное выше условие выполняется, если компенсирует мнимые нули. И на основе выражения для из (2.8) можно утверждать, что введение оценки (2.12) в функционал (2.9) обеспечит ограничение на компенсацию регулятором мнимых полюсов устройства управления.

Приведем модифицированный функционал:

(2.13)

Реализовать в пространстве состояний оценку (2.12) можно с помощью переменных состояния - расширением пространства, либо с помощью воздействия вида белого шума.

Чтобы перевести добавку (2.12) на язык пространства состояний первым способом необходимо будет ввести набор переменных, которые будут реализовывать (на основе уже имеющегося вектора состояний)

.

В итоге у нас будет переменная, такая что:

Более подробно данный вопрос будет рассмотрен в главе 3.

К сожалению, было установлено, что перевод функционала (2.13) в пространстве изображений с помощью расширения вектора состояний не дал желаемого результата - полученный регулятор не обладал стабилизирующим свойством.

Обратимся ко второму способу - использованию воздействия вида белого шума. Некоторые составляющие интегрального критерия могут быть реализованы в пространстве состояний с помощью введения фиктивного воздействия. Рассмотрим (1.6). Для ее реализации в постановке нашей задачи необходимо подать на вход объекта белый шум единичной интенсивности.

Приведем схему подобного устойства:

Подобное фиктивное воздействие приведет к тому, что функционал примет вид:

(2.14)

Последняя составляющая обусловлена вкладом вводимой помехи в сигнал управления.

Приведем вывод этой оценки. Для этого найдем передаточную функцию от входа к выходу :

Теперь выразим :

Теперь вклад сигнала в управление можно оценить:

Похожие статьи




Конструирование функционала - Проблемы конструирования устойчивой системы автоматического управления

Предыдущая | Следующая