Виды дисперсий и правило их сложения - Основы статистики
Большинство показателей вариации (колеблемости, рассеивания) исчисляется на основе отклонений признака у отдельных единиц совокупности от средней арифметической, т. к. средняя арифметическая является обобщающей характеристикой свойств ряда (совокупности).
Более объективно меру вариации признака отражает показатель дисперсии (или средний квадрат отклонений). Поэтому на практике наиболее часто используется для характеристики меры вариации этот показатель или показатель, базирующийся на дисперсии (среднее квадратическое отношение, коэффициент вариации). Поэтому условно назовем эту группу показателей вариации как группу основных показателей вариации.
Дисперсия (и соответственно ) используется при организации выборочного наблюдения, при оценке полученных на основе выборки статистических показателей. Дисперсия может использоваться для построения показателей тесноты корреляционной связи, анализа влияния различных факторов (сложение дисперсий).
Дисперсия (средний квадрат отклонений) исчисляется средняя из отклонений, возведенных в квадрат:
или (7)
Итак, чтобы вычислить дисперсию нужно проделать следующие операции [6, c. 156]:
- - найти отклонения каждой варианты ряда от средней арифметической ; - возвести эти отклонения в квадрат; - умножить квадрат отклонения на соответствующую частоту и суммировать;
- полученную сумму нужно разделить на сумму частот.
Дисперсия (средний квадрат отклонений) имеет ряд математических свойств (доказываемых в математической статистике), которые позволяют упростить технику ее расчета:
- если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится:
; (8)
- если все значения вариант умножить или разделить на какое-то постоянное число А, то дисперсия увеличится или уменьшится от этого в раз:
или (9)
Другими словами, постоянный множитель вариант выносится за знак дисперсии возведенным в квадрат; если исчислить дисперсию от любой величины признака, которая в той или ной степени отличается от средней арифметической, то он всегда будет больше дисперсии, исчисленной от средней арифметической [7, c. 211]:
(10)
Это свойство носит название свойство минимальности. При этом больше на определенную величины - на квадрат разности между средней и этой условно взятой величиной:
(11)
Использование указанных свойств дисперсии позволяет упростить ее расчет, особенно в тех случаях, когда вариационный ряд составляет арифметическую прогрессию или имеет равные интервалы.
Например, пусть. Тогда по 3-му свойству имеем:
(12)
Отсюда: средний квадрат отклонений равен среднему квадрату индивидуальных значений признака минус квадрат среднего значения признака.
Изложенный способ расчета дисперсии называется способом моментов или способом отсчета от условного нуля [1, c. 278].
Корень квадратный из дисперсии (среднего квадрата отклонения) представляет собой наиболее широко применяемый в статистических исследованиях показатель вариации - среднее квадратическое отклонение (иногда называют стандартное отклонение).
(13)
Среднее квадратическое отношение является мерилом надежности средней. Чем меньше, чем лучше среднее арифметическое отражает собой всю изучаемую совокупность.
Исходя из сказанного, по своему абсолютному значению среднее квадратическое отклонение () зависит не только от степени вариации признака, но и от абсолютных уровней (или значений) вариаций и средней. Поэтому сравнивать средние квадратические отклонения вариационных рядов с разными уровнями непосредственно нельзя. Для этих целей исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы совокупности одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей).
Для этой цели в статистических исследованиях широко применяется коэффициент вариации, т. к. средняя величина () отражает тенденцию развития (т. е. действие главных факторов), а среднеквадратическое отклонение () дает обобщенную характеристику колеблемости всех вариантов совокупности (измеряет силу воздействия прочих факторов).
Итак, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин. При этом считается, что если н больше 40%, то имеет место большая колеблемость изучаемого признака.
Дисперсию и среднюю альтернативного признака можно определить по формулам:
и (14)
Где p - доля единиц, обладающих признаком;
G - доля единиц, не обладающих признаком;
Притом p+g=1, g=1-p.
Среднеквадратическое отклонение:
.
Итак:
- - по всей совокупности мы можем рассчитать общую среднюю для всей совокупности; - по отдельным группам соответственно можно рассчитать групповые или частные средние.
Тогда можно вычислить три показателя дисперсии [2, c. 198]:
- - общую дисперсию; - среднюю из внутригрупповых дисперсий; - дисперсию групповых средних (или межгрупповую дисперсию).
Величина общей дисперсии () характеризует вариацию признака под влиянием всех условий, вызывающих эту вариацию. Общая дисперсия, как познакомились выше, вычисляется по формуле:
(15)
Изменчивость индивидуальных значений (вариант) признака внутри групп происходит под влиянием других, не учитываемых факторов и не зависит от признака - фактора, положенного в основу группировки. Внутригрупповая дисперсия определяется как взвешенная средняя из дисперсий по отдельным группам, т. е. по формуле:
(16)
Межгрупповая дисперсия (дисперсия средних) отражает различия в величине изучаемого признака в "чистом виде", т. к. влияние других факторов, специфических для каждой группы, нивелированы в групповых средних и определяется по формуле:
(17)
Дисперсии взаимосвязаны между собой следующим равенством: величина общей дисперсии равна сумме величин межгрупповой дисперсии (дисперсии групповых средних) и средней из внутригрупповых дисперсий, т. е.:
(18)
Это тождество получило название закона (правила) сложения дисперсий.
Опираясь на это правило можно определить, которая часть общей дисперсии формируется под влиянием изучаемого фактора, положенного в основу группировки (отражает так называемую систематическую вариацию) и какая часть - за счет неучтенных факторов.
Средняя из групповых дисперсий () дает обобщенную характеристику случайной вариации изучаемого признака, возникающего под влиянием неучтенных факторов.
Теоретический и практический интерес правила сложения дисперсий заключается в следующем [8, c. 167]:
- - зная две дисперсии можно всегда определить третий вид дисперсии; - зная дисперсию групповых средних (межгрупповую дисперсию) и общую дисперсию можно судить о силе влияния группировочного признака на изучаемое явление.
Например, изучаем влияние на общую урожайность внесения удобрений. Очевидно, чем ближе будет дисперсия групповых средних (когда все земельные участки сгруппированы на удобренные и неудобренные) к общей дисперсии, тем больше будет влияние внесения удобрений на общую урожайность.
В математической статистике для оценки тесноты связи с использованием этого правила обоснована формула корреляционного отношения:
, где (19)
Благодаря правилу сложения дисперсий можно определить, какая часть общей дисперсии находится под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки.
Похожие статьи
-
Метод сравнения является универсальным методом и применяется во всех разделах статистики (метод сравнения средних, оценивания неизвестных параметров и...
-
Распределением признака Называется закономерность встречаемости разных его значений. Нормальное распределение Характеризуется тем, что крайние значения...
-
Мы можем определить вариацию как среднее значение отклонений каждого из вариантов от средней арифметической, согласно свойству средней арифметической,...
-
Дисперсия - Основы научных исследований
Степень рассеивания случайной величины относительно центра распределения характеризуется Дисперсией (от лат. dispersio - рассеивание). Дисперсия - это...
-
Данная контрольная работа состоит из двух частей - теоретической и практической. В теоретической части будет подробно рассмотрена такая важная...
-
Показатели вариации - Основы эконометрики
Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные. К Абсолютным показателям вариации относятся: § размах вариации; § среднее линейное...
-
Заключение - Теоретические основы статистики результатов экономической деятельности
1. С целью выявления тенденций среди компаний Западной Сибири, мы взяли официальные, достоверные данные о величине валовой прибыли 31 компании за 2015...
-
Средняя геометрическая - Общая теория статистики
Если значения осредняемого признака существенно отстоят друг от друга или заданы коэффициентами (темпы роста, индексы цен), то для расчета применяют...
-
Основные задачи статистики - Основы научных исследований
Назначение статистических методов состоит в том, чтобы по выборкам ограниченного объема делать обоснованные выводы о свойствах генеральных совокупностей,...
-
Статистический средний индекс Статистические индексы - Это обобщающие относительные показатели, характеризующие изменение величины явления простого или...
-
Степенное среднее - Степенные величины в статистике
Для наглядности наиболее часто применяемые в практических исследованиях формулы вычисления различных видов степенных средних величин представлены в...
-
1. Если значения измеренного признака не отличаются друг от друга (равны между собой) - дисперсия равна нулю. Это соответствует отсутствию изменчивости в...
-
Статистики, Свойства оценок - Основы научных исследований
Любая функция от элементов выборки называется Статистикой . Следовательно, точечная оценка также является статистикой. Однако не всякая статистика может...
-
Методы непараметрической статистики - Основы теории систем и системного анализа
Использование классических распределений случайных величин обычно называют "параметрической статистикой" - мы делаем предположение о том, что...
-
Средняя арифметическая Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в...
-
Элементы прогнозирования на основе тренда и колеблемости - Ряды динамики в статистике
Применение прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в прогнозируемом...
-
Распределение 31 компании по валовой прибыли № Валовая прибыль (млн. руб.), Xi Число компаний, fi Частость, wi Накопленная частота, Si 1 11,98-176,35 15...
-
Моделирование тарифов Водоканала и РАО ЕЭС, Тарифы водоканала - Статистика ЖКХ
Тарифы водоканала Изучим динамику цен на услуги водоканала. Данные возьмем с сайта организации http://www. vodokanal. spb. ru. Показатель: условия...
-
Линейный (парный) коэффициент определяет степень тесноты связи для выборочной совокупности 31 компании между показателями величины валовой прибыли и...
-
Валовой внутренний продукт (ВВП) - общий показатель экономической деятельности страны, центральный макроэкономический показатель системы национальных...
-
Показатели результатов любого вида деятельности занимают особое место в ее характеристике, так как отражают степень достижения цели этой деятельности....
-
Был выбран такой метод синтеза ПАн, который позволяет получить объемно-модифицированный композит с высокой электропроводностью, который позволяет...
-
Тарифы на электроэнергию - Статистика ЖКХ
Построим временной тренд для среднеотпускного тарифа на электроэнергию, коп/кВтч. Год Квартал Номер квартала Цена 2000 I 1 9,00 II 2 9,19 III 3 10,21 IV...
-
Методы прогнозирования в статистике населения - Система источников данных о населении
Моделирование временного тренда среднегодовой численности занят Ого населения Санкт-Петербурга Приведем данные среднегодовой численности занятого...
-
Принятие решений на основе уравнений регрессии - Основы эконометрики
Интерпретация Моделей регрессии осуществляется методами той отрасли знаний, к которой относится исследуемое явление. Но всякая интерпретация начинается...
-
Меру тесноты связи между двумя признаками показывает корреляционная связь. По своей форме корреляционные связи бывают: - прямые и обратные; -...
-
В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах...
-
При использовании статистических методов прогнозирования во многих случаях необходимо знать возможную ошибку прогноза, т. е. тот интервал, в котором...
-
Для диагностики состояния мембраны на каждом этапе синтеза контролировали диффузионную проницаемость и электропроводность мембраны. Измерение удельной...
-
После проведения регрессионного анализа получается модель объекта исследований в виде некоторой функции. В простейшем случае линейной регрессии она имеет...
-
Признаки Х и Y находятся в Корреляционной зависимости , если каждому значению одного признака X I соответствует определенная Условная средняя другого...
-
СТАТИСТИКИ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА - Многомерный статистический анализ
Критерий сферичности Бартлетта. Статистика, проверяющая гипотезу о том, что переменные в генеральной совокупности не коррелируют между собой. Другими...
-
Генеральная совокупность и выборка - Основы научных исследований
Распределение случайной величины содержит всю информацию о ее статистических свойствах. Много ли нужно знать значений случайной величины, чтобы построить...
-
Методы измерения параметров тренда - Ряды динамики в статистике
Тенденция ряда динамики (тренд). Важнейшим направлением в исследовании закономерностей динамики социально-экономических процессов является изучение общей...
-
Понятие вариации Вариация - это многообразие, колеблемость, изменяемость величины признака у единиц статистической совокупности. Вариация порождается...
-
Среднее арифметическое - Числовая характеристика совокупности чисел а1, .... аn, определяемая формулой: В = (а1 + .....+аn) / n Среднее гармоническое -...
-
Проводимость полианилина сравнительно невелика, но его отличает более высокая стабильность и устойчивость в процессе эксплуатации в различных...
-
В связи с интенсивным поиском альтернативных источников электрической энергии, интенсивно ведутся исследования в области разработки новых материалов для...
-
Основные предпосылки регрессионного анализа - Основы научных исследований
Методика РА создана с использованием некоторых предпосылок. Если они не выполняются, то корректное выполнение всех процедур РА приведет к неверным...
-
Корреляция и регрессия Вспомним, что зависимости называются вероятностными или стохастическими, если каждому набору факторов Х I соответствует множество...
Виды дисперсий и правило их сложения - Основы статистики