Правило произведения, Пересекающиеся множества - Правила комбинаторики

Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y-m способами, то пару (X, Y) можно выбрать k*m способами.

То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10 = 50 способами.

Примеры задач

1. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

Решение: Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3 = 36 вариантов переплета.

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

Решение: В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя - как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX, где Y и Z - любые цифры, а X - не ноль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9*10*10 = 900 вариантов.

Пересекающиеся множества

Но бывает, что множества X и Y пересекаются, тогда пользуются формулой, где X и Y - множества, а - область пересечения.

Примеры задач

1. 20 человек знают английский и 10 - немецкий, из них 5 знают и английский, и немецкий. Сколько Человек всего?

Ответ: 10+20-5 = 25 человек.

Круги Эйлера

Также часто для наглядного решения задачи применяются круги Эйлера.

Например:

1. Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Решение: Выразим условие этой задачи графически. Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим кругом - тех, кто знает французский, и третьим кругом - тех, кто знают немецкий.

2. Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языком владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3 = 7 человек.

Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3 = 5 человек, а немецким и французским 5-3 = 2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие части.

Определим теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2 = 10 из них владеют и другими языками, следовательно, только немецкий знают 20 человек. Аналогично получаем, что одним английским владеют 13 человек, а одним французским - 30 человек.

По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3 = 80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков.

Похожие статьи




Правило произведения, Пересекающиеся множества - Правила комбинаторики

Предыдущая | Следующая