Автоколебания в химических реакциях, Вывод расчетных формул - Автоколебания в химических реакциях. Численные методы

Модель Лефевра-Николиса описывает колебательные процессы в следующей цепочке химических реакций:

Предполагается, что концентрации веществ A, B, D, E остаются постоянными и все реакции необратимы. Тогда изменение концентрации x и y реагентов X и Y будет описываться следующей системой ОДУ:

Здесь a и b - концентрации исходных веществ A и B соответственно.

Вывести расчетные формулы метода Рунге-Кутты 3-го порядка точности с параметрами.

С помощью построенного метода найти численное решение задачи Коши при различных начальных данных и различных значениях коэффициентов.

Вывести графики зависимости решения и, а также фазовый портрет (в переменных x, y). Также обозначить на графиках стационарное решение (особые точки). автоколебание график химический численный

Подготовить несколько тестовых примеров. Для облегчения построения тестового примера в каждое из уравнений следует ввести правую часть. Изобразить на одном чертеже графики точного и приближенного решений.

Вывод расчетных формул

Выведем расчетные формулы метода Рунге-Кутты 3-го порядка точности с параметрами.

Введем на отрезке три вспомогательных узла:

Заметим, что, так как и, так как.

Заменим, входящий в равенство интеграл квадратурной суммой с узлами :

Нам неизвестны значения и. Чтобы найти их запишем равенства:

Еще раз заменяем интегралы квадратурными суммами:

Пусть - приближение к значению углового коэффициента в точке, тогда

Расчетные формулы метода Рунге-Кутты 3-го порядка точности:

Найдем значения параметров, при которых порядок аппроксимации будет максимальным. Запишем формулы метода в виде:

Параметрами этого метода являются величины Представим погрешность аппроксимации:

(где - решение дифференциального уравнения ) в виде разложения по степеням h.

Формула Тейлора:

С учетом равенств

Дает формулу

Представим значения функций, используя формулу Тейлора для функции двух переменных с центром в точке :

Таким образом,

Если потребовать, чтобы выполнялись условия:

То первые слагаемые в формуле обратятся в нуль, и поэтому метод будет иметь третий порядок аппроксимации.

Тестовые примеры

Пример 1.

Воспользуемся системой MathCAD для численного решения задачи, при начальных концентрация веществ.

Результаты работы программы (приложение к курсовой работе):

Пример 2.

В данном примере рассмотрим состояние равновесия

, отвечающее стационарному протеканию химической реакции, когда концентрации реагирующих веществ постоянны.

Результаты работы программы (приложение к курсовой работе):

Похожие статьи




Автоколебания в химических реакциях, Вывод расчетных формул - Автоколебания в химических реакциях. Численные методы

Предыдущая | Следующая