Автоколебания в химических реакциях, Вывод расчетных формул - Автоколебания в химических реакциях. Численные методы
Модель Лефевра-Николиса описывает колебательные процессы в следующей цепочке химических реакций:
Предполагается, что концентрации веществ A, B, D, E остаются постоянными и все реакции необратимы. Тогда изменение концентрации x и y реагентов X и Y будет описываться следующей системой ОДУ:
Здесь a и b - концентрации исходных веществ A и B соответственно.
Вывести расчетные формулы метода Рунге-Кутты 3-го порядка точности с параметрами.
С помощью построенного метода найти численное решение задачи Коши при различных начальных данных и различных значениях коэффициентов.
Вывести графики зависимости решения и, а также фазовый портрет (в переменных x, y). Также обозначить на графиках стационарное решение (особые точки). автоколебание график химический численный
Подготовить несколько тестовых примеров. Для облегчения построения тестового примера в каждое из уравнений следует ввести правую часть. Изобразить на одном чертеже графики точного и приближенного решений.
Вывод расчетных формул
Выведем расчетные формулы метода Рунге-Кутты 3-го порядка точности с параметрами.
Введем на отрезке три вспомогательных узла:
Заметим, что, так как и, так как.
Заменим, входящий в равенство интеграл квадратурной суммой с узлами :
Нам неизвестны значения и. Чтобы найти их запишем равенства:
Еще раз заменяем интегралы квадратурными суммами:
Пусть - приближение к значению углового коэффициента в точке, тогда
Расчетные формулы метода Рунге-Кутты 3-го порядка точности:
Найдем значения параметров, при которых порядок аппроксимации будет максимальным. Запишем формулы метода в виде:
Параметрами этого метода являются величины Представим погрешность аппроксимации:
(где - решение дифференциального уравнения ) в виде разложения по степеням h.
Формула Тейлора:
С учетом равенств
Дает формулу
Представим значения функций, используя формулу Тейлора для функции двух переменных с центром в точке :
Таким образом,
Если потребовать, чтобы выполнялись условия:
То первые слагаемые в формуле обратятся в нуль, и поэтому метод будет иметь третий порядок аппроксимации.
Тестовые примеры
Пример 1.
Воспользуемся системой MathCAD для численного решения задачи, при начальных концентрация веществ.
Результаты работы программы (приложение к курсовой работе):
Пример 2.
В данном примере рассмотрим состояние равновесия
, отвечающее стационарному протеканию химической реакции, когда концентрации реагирующих веществ постоянны.
Результаты работы программы (приложение к курсовой работе):
Похожие статьи
-
Задание для исследования - Численное нахождение корня уравнения методом Рунге-Кутта
Исследовать решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты. Подробное описание Метод этот пригоден для решения как одиночных...
-
Вычисления для следующих входных данных F=1000H m=200 кг m'=1 кг/сек k=2 t0=0 сек V0=0 м/сек B=50 n=50 V1 (t) - результаты, полученные с помощью...
-
Материальный баланс производства Основанием для получения уравнения реактора любого типа является материальный баланс, составленный по одному из...
-
Провести комплексное исследование численных методов для задачи решения нелинейных уравнений. 1. Решить нелинейные уравнения А) ; Б) ; В) . 2....
-
Численный сравнительный анализ - Ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели
Итак, в рамках данной работы рассматриваются такие распределения случайных величин, как распределения Гаусса и Лапласа, треугольное распределение...
-
Исходные коды программы - Автоколебания в химических реакциях. Численные методы
MainUnit. h //--------------------------------------------------------------------------- #ifndefMainUnitH #define MainUnitH...
-
Скорость реакции определяется изменением молярной концентрации одного из реагирующих веществ: V=dC/dtV. Факторы, влияющие на скорость химических...
-
В основе метода площадей лежит предположение, что объект может быть описан линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, а его...
-
APCI также стала важным способом ионизации, потому что она генерирует ионы непосредственно из раствора, и способна к анализу относительно неполярных...
-
Найти при помощи метода ячеек значение интеграла , Где - область, ограниченная функциями . 2. Теоретическая часть Рассмотрим K-мерный интеграл вида: (1)...
-
Прототипом разработанной автором системы моделей служит "точечная" модель [1], представляющая собой пространственно осредненный вариант уравнений горения...
-
Способы защиты полимеров от огня: А) обработка, пропитка полимера неорганической солью - инертный способ, соль не гасит огонь, а лишь препятствует его...
-
Пусть сначала область интегрирования есть K-мерный пространственный параллелепипед (рис. 5), стороны которого параллельны осям координат. Каждый из...
-
Чтобы осуществлялось химическое взаимодействие веществ А и В, их молекулы (частицы) должны столкнуться. Чем больше столкновений, тем быстрее протекает...
-
МЕТОДЫ ОСАЖДЕНИЯ, ИОННОГО ОБМЕНА, МЕМБРАННЫЕ МЕТОДЫ - Химические свойства и строение воды
Современные технологии позволяют изготавливать объемные или плоские фильтрующие материалы с однородными каналами практически любого размера. Мембранный...
-
Основные формулы интегрирования (табличные интегралы) - Методы решения системы линейных уравнений
1. ?dx = x+C 2. ?xNDx = (xN+1/(n+1))+C (n?-1) 3. ?(dx/x) = ln(x)+C 4. ?aXDx = aXLn(a)+C 5. ?eXDx = eX +C 6. ?sin(x)dx = -...
-
Метод дихотомии требует менее всего итераций цикла для получения корней уравнения с заданной точностью. Если расчет ведется без помощи ЭВМ, то это...
-
Система усовершенствованных моделей позволяет удовлетворительно воспроизводить кинетику СО-токсичности ДВС при изменении нагрузки, цикловой подачи...
-
Рассмотрим реакцию между веществами А и В, протекающую по схеме: А А + в В = с С + d D Количественно зависимость между скоростью реакции и концентрациями...
-
Используется адаптивная нейро-нечеткая система вывода ANFIS, функционально эквивалентная системе нечеткого вывода Сугено. Вывод осуществляется за два...
-
Кинетика химических реакций - Концепции современного естествознания: химическая составляющая
Одна из особенностей химических реакций заключается в том, что они протекают во времени. Одни реакции протекают медленно, месяцами, как, например,...
-
Существует три основных типа окислительно-восстановительных реакций: 1. Если окислитель и восстановитель находятся в молекулах различных веществ, то...
-
Параметрическое линейное программирование - Методы линейного программирования
Представляет собой один из разделов математического программирования, изучающий задачи, в которых целевая функция или ограничения зависят от одного или...
-
Метод множителей Лагранжа - Экономико-математические методы
Среди задач (4.1)-(4.3) особое место занимают задачи типа (6.10) , (6.11) Для решения которых можно воспользоваться классическим методом оптимизации...
-
Неслучайная составляющая временного ряда и методы его сглаживания - Динамические ряды
Существенную роль в решении задач выявления и оценивания трендовой, сезонной и циклической составляющих в разложении (1.1.1) играет начальный этап...
-
Из перечисленного обзора типов ММ, составляющих предмет ИСО, можно выделить следующие особенности ММ ИСО [3]. - Системный подход, заставляющий...
-
Ранговый метод - Ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели
Метод наименьших квадратов широко применяется для оценки параметров линейной регрессии, поскольку достаточно прост в вычислении и при предположении о...
-
Для того чтобы можно было составить план проведения численных экспериментов, необходимо определиться с выходными параметрами объекта, которые можно...
-
ХИМИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА И ХИМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ - Неограническая химия
Задание 4.1: 4.1.1. Проанализируйте данную Вам реакцию (табл. IV.1) и укажите, какой она является: гомогенной или гетерогенной. 4.1.2. Запишите...
-
Целью данной курсовой работы является проведение синтеза ацетата натрия (CH3COONa). Задачами курсовой работы являются: изучение методики неорганического...
-
Важность представлений о Системе химии лучше всего охарактеризовал Д. И. Менделеев. "Как там ни рассуждайте и не критикуйте историю, - писал он, - а...
-
Пластичными массами называют материалы, полученные на основе полимеров, содержащие различные добавки и способные под влиянием температуры и давления,...
-
Зависимость скорости реакции от температуры определяется правилом Вант-Гоффа : При повышении температуры на каждые 10о скорость большинства реакций...
-
Получим систему линейных уравнений: Уравнение гиперболической регрессии: Добавим на диаграмму рассеяния линию гиперболического тренда. Рисунок 9 Вычислим...
-
Полимерами называют вещества, молекулы которых (макромолекулы) состоят из одного или большего числа составных звеньев. Молекулярная масса (число атомов)...
-
Процесс получения фосфорной кислоты, не смотря на крупнотоннажность производства и довольно длительное использование в различных сферах...
-
Винилхлорид -- достаточно активное химическое соединение, чьи химические свойства определяются как наличием двойной связи, так и атома хлора. Наибольший...
-
В этом методе сравнивают степени окисления атомов в исходных веществах и в продуктах реакции, при этом руководствуемся правилом: число электронов,...
-
Проба Бейльштейна. [6] Медную проволоку с загнутым в виде петельки концом прокаливают в пламени горелки для образования на поверхности слоя оксида меди...
-
Бромистый этил представляет бесцветную прозрачную жидкость, обладающую эфирным запахом и сначала сладким, потом жгучим вкусом. Кипит при 38,4°С. В воде...
Автоколебания в химических реакциях, Вывод расчетных формул - Автоколебания в химических реакциях. Численные методы