Скорость падения дождевых капель на определенный предмет


Введение

Математика, как наука родилась тысячи лет назад, ибо человек всегда старался познать мир. Эти знания были необходимы древним купцам и строителям, воинам и землемерам, жрецам и путешественникам. Уже в глубокой древности математика являлась не просто областью знаний, но и языком научного восприятия мира.

Математика - орудие во многих науках, технике, экономике. Даже юристы, историки и экологи берут на вооружение математические методы исследования.

Название "математика" происходит от греческого слова "матейн" (mathein) - учиться, познавать. Поэтому, можно сказать, что слова "математика" - "наука", "познание" - синонимы (5).

Что значит "познавать"?

Для меня это значит узнать, изведать, открыть что-то новое.

Математика всюду, нужно только ее увидеть. Она даже там, где мы и не подразумеваем.

В одном из учебников я нашла задачу в которой спрашивалось: "Как скорость дождя повлияет на передвижения тела, на приме Прямоугольного параллелепипеда". Эта задача меня очень заинтересовала и я приняла решение ее решить.

Основная часть

Прямоугольный параллелепипед, площади граней которого равны SБ, SB, SЛ, (От слов "боковая", "верхняя" и "лицевая") движется со скоростью перпендикулярно грани SЛ. В то же самое время идет дождь, каждая капля которого имеет скорость (рис.1) (вектор не обязательно направлен вертикально вниз - дождь может быть и косым). Количество дождевых капель в единице объема равно k. Спрашивается: сколько капель N попадет на параллелепипед за то время, что он передвинется на расстояние I. И при каком значении скорости ы эта величина N будет наименьшей?

Решение задачи

Введем в пространстве систему координат Охz: ось Oz направим вертикально вниз, ось Ох - по направлению вектора Ы, А Ось О - Перпендикулярно плоскости Oxz, причем так, чтобы проекция вектора скорости падающих дождевых капель на ось О была отрицательна (Рис.2). Так вектор задан, можно считать, что известны проекции вектора на оси координат. Обозначим их Х, У, Z. Что можно сказать об этих проекциях? Разумеется, У ? 0 (так выбрана ось О). Кроме того, Z > 0 (дождь может идти только сверху вниз). А вот величина Х может быть как положительной (попутный дождь), так и отрицательной (встречный дождь), а то и вообще равняться нулю (3,4).

Буду считать параллелепипед неподвижным: тогда дождевые капли в этой системе отсчета получат скорость щ = - Ы.

Проекции вектора скорости щ на оси координат будут щХ = Х - И, щУ = У, щZ = Z (U - это длина вектора Ы) (1).

Понятно, что за время t на параллелепипед упадут все капли, отстоящие от граней параллелепипеда на расстояние, не больше, чем t - lщl, в направлении, противоположном вектору щ, т. е. все капли, расположенные внутри объема тела, обведенного красными линиями на рисунке 3.

Как найти объем этого тела?

Нетрудно заметить, что это тело состоит из трех призм, площади оснований которых равны SЛ, SБ И SB, а высоты - абсолютным величинам проекций вектора ф - щ на оси Ох, Оу и Oz соответственно (2).

Поэтому объем этого тела равен:

Ф (lщХL SЛ + lщУL SБ + lщZL SB) = ф (lХ - ЫL SЛ, + У SБ + ZSB),

Тогда количество капель N равно:

N=ф (lХ - ЫL SЛ + У SБ + Z SB).

Учитывая, что ф = /u, получаем зависимость N от u:

N = .

Поскольку величины и постоянны, буду для удобства пользоваться величиной

Х ? 0 (Встречный Дождь).

В этом случае Х - Ы < 0, и функция принимает вид:

= SЛ + .

Если же:

0 < u ? Х. Тогда lХ - ЫL = Х - Ы, и.

Раскрываем скобки, преобразуем:

- SЛ.

Эта функция убывает на интервале (0; Х] и достигает минимума при u =Х:

.

Если же: u > Х. Тогда lХ - ЫL = u - Х, и + SЛ.

Здесь уже нельзя сразу сказать, как ведет себя с возрастанием u.

Это зависит от числителя дроби А = .

Результаты по решению задачи

Итак, если дождь встречный, то параллелепипед должен двигаться как можно быстрее. Если же дождь попутный, то сначала необходимо мысленно оценить величину А= .

Если окажется, что А > 0, то в этом случае параллелепипед должен двигаться тоже как можно быстрее.

Если А=0, параллелепипед должен двигаться с любой скоростью, превышающей Х.

Но, а если А < 0 - , параллелепипед должен двигаться со скоростью, равной Х

Скорость параллелепипед дождевая капля

Список литературы

    1. Л. С. Атанасян. Геометрия 10-11. Учебник для общеобразовательных школ. Москва, изд. "Просвещение", 2003г. Глава IV. "Векторы в пространстве". 2 .Н. М. Бескин "Изображения пространственных фигур". Москва, изд. "Наука", 1999г. 3. Э. Г. Готман. Математика 8,9,10. "Геометрия преобразования". Москва, изд. "Чистые пруды", 2007г. 4. А. П. Киселев. Элементарная геометрия. Отдел II, гл.1, п.6 "Понятие о проекциях", п.7 "Свойства проекций", п.9 "Примеры построения изображений", Москва, изд. "Просвещение", 1980г. 5. Журнал "Математика для школьников", №3 - 2006г., стр.2.

Похожие статьи




Скорость падения дождевых капель на определенный предмет

Предыдущая | Следующая