Парная регрессия и корреляция - Парные регрессии и корреляции, множественные регрессии и системы эконометрических уравнений

Задание к задачам 1-10. Имеются данные о расходах населения на продукты питания (y) и доходах семьи (x), ден. ед. для 8 районов.

    1. Для характеристики зависимости y от x рассчитайте параметры следующих функций:
      А) линейной;
    2. Оцените тесноту связи изучаемых признаков. 3. Оцените каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Табл. 1

№

Х

У

Ху

Х2

У2

У

У-у

А

1

120

85

10200

14400

7225

90,13

-5,13

-,06

2

310

110

34100

96100

12100

122,43

-12,43

11,3

3

530

155

82150

280900

24025

159,83

-4,83

3,12

4

740

210

155400

547600

44100

195,53

14,47

6,89

5

960

245

235200

921600

60025

232,93

12,07

4,93

6

1180

285

336300

1392400

81225

270,33

14,67

5,15

7

1450

325

471250

2102500

105625

316,23

8,77

2,7

8

1870

360

673200

3496900

129600

387,63

-27,63

7,68

Итого

7160

1775

1997800

8852400

463925

1775,04

-0,04

47,81

Ср. знач.

895

221,88

249725

1106550

57990,63

-

-

B0*8+b1*7160=1775

B0*7160+b1*8852400=1997800

=

B0=221.88-0.17*895=221.88-152.15=69.73

Уравнение регрессии имеет вид:

Y=69.73+0.17*x

С увеличением дохода семьи расходы населения на продукты питания увеличиваются на 0,17 ден. ед.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Rxy=0.17*(v305525/v(57990,63-(221,88)2))=0,17*(v305525/v8759,9)=0,17*(552.74/93.59)=0.17*5.91?1

Связь между рассматриваемыми признаками весьма сильная, функциональная.

Определим коэффициент детерминации:

R2xy=12=1

Вариация результата на 100% объясняется вариацией фактора х

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения x, определим теоретические (расчетные) значения у. Найдем величину средней ошибки аппроксимации:

А=47,81/8=5,98

Ошибка аппроксимации показывает хорошее соответствие расчетных и фактических данных: среднее отклонение составляет 5,98%.

Рассчитаем F-критерий:

Fнабл.=(1/(1-1))*((8-1-1)/1)=0

Fкр. находим по таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости б=0,05 и степенях свободы: k1=1, k2=6: Fкр.=5,59

Так как Fкр > Fнабл (5,59 > 0), гипотеза Н0 не отклоняется и признается статистическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

Задание к задачам 11-20.

    1. Определите параметры уравнения парной линейной регрессии и дайте интерпретацию коэффициента регрессии. 2. Оцените тесноту связи с помощью коэффициентов корреляции и детерминации, проанализируйте их значения. 3. С вероятностью 0,95 оцените статистическую значимость параметров уравнения регрессии по критерию Стьюдента. 4. Рассчитайте прогнозное значение результата y, если прогнозное значение фактора х составит 1,062 от среднего уровня (х). Определите доверительный интервал прогноза (для б = 0,05).

Выявить и оценить зависимость между стоимостью валового регионального продукта (вновь созданная стоимость) за год, млрд. руб., (y4), и инвестициями в основной капитал в 2006 г., млрд. руб., (x2) y4 = f (x2).

Табл. 2

№

Территория Северо-Западного федерального округа

Инвестиции в основной капитал в 2006г., млрд. руб., х

Валовый региональный продукт за год, млрд. руб., у

Ху

Х2

У2

У

У-у

1

Республика Карелия

12,6

48,1

606,06

158,76

2313,61

58,06

-9,96

2

Республика Коми

30,2

113,5

3427,7

912,04

12882,25

88,33

25,17

3

Архангельская область

30,5

107,6

3281,8

930,25

11577,6

88,85

18,75

4

Вологодская область

41,45

114,2

4733,59

1718,1

13041,64

107,68

6,52

5

Калининградская область

18,11

51,3

929,04

327,97

2631,69

67,54

-16,24

6

Ленинградская область

67,02

132,4

8873,45

4491,68

17529,76

151,66

-19,26

7

Мурманская область

13,53

81,6

1104,05

183,06

6658,56

59,66

21,94

8

Новгородская область

7,95

39,1

310,85

63,2

1528,81

50,06

-10,96

9

Псковская область

5,75

30,3

174,23

33,06

918,09

46,28

-15,98

Итого

227,11

718,1

23440,77

8818,12

69082,17

718,12

-0,02

Ср. знач.

25,23

79,79

2604,53

979,79

7675,8

-

-

B0*9+b1*227,11=718,1

B0*227,11+b1*8812,12=23440,77

B1=(2604,53-(79,79*25,23))/(979,79-(25,23)2)=(2604,53-2013,1)/(979,79-636,55)=591,43/343,24=1,72

B0=79,79-(1,72*25,23)=79,79-43,4=36,39

У=36,39+1,72*х

С увеличением инвестиций в основной капитал валовой региональный продукт за год увеличивается на 1,72 млрд. руб.

Тесноту линейной связи оценивает коэффициент корреляции:

Rxy=1,72*(18,53/36,19)=1,72*0,51=0,88

Связь между рассматриваемыми признаками сильная, прямая.

R2xy=0,882=0,774

Это означает, что 77,4% вариации валового регионального продукта (у) объясняется вариацией фактора х - инвестиций в основной капитал.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Но о статистически незначимом отличии показателей от нуля:b0=b1=0

Tкр для числа степеней свободы df=9-2=7 и б=0,05 составит 2,36

Определим стандартные ошибки Sb0, Sb1:

S2=2618,3342/9-2=2618,3342/7=374,05

Sb0=v374,05*(v8818,12/(9*v343,24))=19,34*(93,9/(9*18,53))=19,34*(93,9/166,77)=19,34*0,56=10,83

Sb1=19,34/(18,53*v9)=19,34/(18,53*3)=19,34/55,59=0,35

Тогда tb0=36,39/10,83=3,36; tb1=1,72/0,35=4,91

Фактическое значение t-статистики для коэффициента b1 превосходит табличное значение tb1=4,91>tкр=2,36, поэтому гипотеза Н0 отклоняется, то есть b1 не случайно отличен от нуля, а статистически значим.

Фактическое значение t-статистики для коэффициента b0 также превосходит критическое значение tb0=3,36>tкр=2,36, поэтому гипотеза Н0 отклоняется, то есть b0 не случайно отличен от нуля, а статистически значим.

Рассчитаем доверительный интервал для b0 и b1:

В0=[36,39±2,36*10,83]; в0min=10,8312; в0max=61,9488

В1=[1,72±2,36*0,35]; в1min=0,894; в1max=2,546

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью р=0,95 параметры b0 и b1, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, то есть является статистически значимыми и существенно отличны от нуля.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Точечный прогноз валового регионального продукта при прогнозном значении инвестиций в основной капитал хр=1,062*х=1,062*25,23=26,79 млрд. руб. составит:

Ур=36,39+1,72*26,79=36,39+46,08=82,47 млрд. руб.

Чтобы получить интервальный прогноз, найдем стандартную ошибку прогноза:

Sур=19,34*v(1+1/9+((82,47-25,23)2)/(9*343,24))=19,34*v(1+1/9+((57,24)2/3089,16))=19,34*v(1+1/9+1,06)=19,34*v(1,11+1,06)=19,34*v2,17=19,34*1,473=28,49.

Доверительный интервал прогнозируемой себестоимости составит:

Ур=[82,47±2,36*28,49]=[52,47±67,24].

Урmin=15,23 урmax=299,38.

То есть при инвестициях в основной капитал, составляющих 1,062 от среднего уровня (х), равным 26,79 млрд. руб., валовый региональный продукт с надежностью 0,95 находится в пределах от 15,23 млрд. руб. до 299,38 млрд. руб.

Похожие статьи




Парная регрессия и корреляция - Парные регрессии и корреляции, множественные регрессии и системы эконометрических уравнений

Предыдущая | Следующая