Алгоритмический анализ задачи, Описание математической модели, Графическая схема алгоритма - Алгоритмы компьютерного моделирования

2.1 Постановка задачи

Требуется разработать приложение, моделирующее напряженно-деформированное состояние плоской конструкции, провести аналогичный расчет в системе Ansys.

Для решения поставленной задачи необходимо: разбить область на конечные элементы, пронумеровать узлы и элементы, задать характеристики материала и граничные условия.

Исходными данными для проекта являются схема плоской конструкции с приложенной распределенной нагрузкой и закреплением (Приложение А), значения характеристик материала (модуль упругости -2*10^5 Па, коэффициент Пуассона -0.3), нагрузка 5000H.

Результатом выполнения курсовой работы является получение перемещений детали в каждом узле.

Описание математической модели

Для решения поставленной задачи используется метод конечных элементов, описанный выше. Деталь разбивается на треугольные конечные элементы с узлами i, j, k (Рисунок 2).

конечно-элементное представление тела

Рисунок 2 - Конечно-элементное представление тела.

Перемещения каждого узла имеют две компоненты, формула (2.1):

(2.1)

Шесть компонент перемещений узлов элемента образуют вектор перемещений {д}:

(2.2)

Перемещение любой точки внутри конечного элемента определяется соотношениями (2.3) и (2.4):

(2.3)

(2.4)

При объединении (2.3) и (2.4) в одно уравнение получается следующее соотношение:

(2.5)

Деформации и перемещения связаны между собой следующим образом:

(2.6)

При подстановке (2.5) в (2.6) получается соотношение (2.7):

(2.7)

Соотношение (2.7) можно представить в виде:

(2.8)

Где [В] называется градиентная матрица вида (2.9):

(2.9)

Функции формы линейно зависят от координат x, y, и следовательно, градиентная матрица не зависит от координат точки внутри конечного элемента, и деформации и напряжения внутри конечного элемента в этом случае постоянны.

При плоском деформированном состоянии в изотропном материале матрица упругих постоянных [D] определяется по формуле (2.10):

(2.10)

Где Е - модуль упругости, - коэффициент Пуассона.

Матрица жесткости конечного элемента имеет вид:

(2.11)

Где hE - толщина, АE - площадь элемента.

Уравнение равновесия i - ого узла имеет вид:

(2.12)

Для учета условий закрепления существует следующий метод. Пусть имеется некоторая система N уравнений (2.13):

(2.13)

В случае, когда одна из опор неподвижна, т. е. UI=0, используют следующую процедуру. Пусть U2=0, тогда:

(2.14)

То есть соответствующие строка и столбец задаются нулевыми, а диагональный элемент - единичным. Соответственно, приравнивается нулю и F2 [4].

Для решения полученной системы выбираем метод Гаусса. Алгоритм решения методом Гаусса подразделяется на два этапа:

1. прямой ход: путем элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. Выбирается разрешающая строка k-ая, где k = 0...n - 1, и для каждой следующей строки выполняется преобразование элементов

(2.15)

Для i = k+1, k+2 ... n-1; j = k+1,k+2 ... n.

2. обратный ход: осуществляется определение значений неизвестных. Из последнего уравнения преобразованной системы вычисляется значение переменной хn, после этого из предпоследнего уравнения становится возможным определение переменной xn-1 и так далее [5].

Графическая схема алгоритма

Представленная графическая схема алгоритма показывает основную последовательность действий выполненных при моделировании детали конструкции. В блоке 1 происходит ввод исходных данных. На основании введенных данных, следующим шагом происходит построение конечно элементной сетки. Далее в блоке 3 и 4 соответственно строится локальная и глобальная матрицы жесткости. В блоке 5 полученная система решается методом Гаусса. На основании решения в блоке 6 определяются искомые перемещения в узлах, и происходит вывод результатов. Краткая графическая схема алгоритма представлена на рисунке 7.

графическая схема алгоритма

Рисунок 7 - Графическая схема алгоритма

Похожие статьи




Алгоритмический анализ задачи, Описание математической модели, Графическая схема алгоритма - Алгоритмы компьютерного моделирования

Предыдущая | Следующая