Математические основы решения задачи линейного программирования графическим способом, Математический аппарат - Линейное программирование
Математический аппарат
Для понимания всего дальнейшего полезно знать и представлять себе геометрическую интерпретацию задач линейного программирования, которую можно дать для случаев n = 2 и n = 3.
Наиболее наглядна эта интерпретация для случая n = 2, т. е. для случая двух переменных x1 и x2. Пусть нам задана задача линейного программирования в стандартной форме
Возьмем на плоскости декартову систему координат и каждой паре чисел (x1, x2 )поставим в соответствие точку на этой плоскости.
Обратим прежде всего внимание на ограничения x1 ?0 и x2 ? 0. Они из всей плоскости вырезают лишь ее первую четверть (см. рис. 1). Рассмотрим теперь, какие области соответствуют неравенствам вида a1 x1 + a2 x2 ? b. Сначала рассмотрим область, соответствующую равенству a1 x1 + a2 x2 = b. Как Вы, конечно, знаете, это прямая линия. Строить ее проще всего по двум точкам.
Пусть b ? 0. Если взять x1 = 0, то получится x2 = b/a2. Если взять x2 = 0, то получится x1 = b/a1. Таким образом, на прямой лежат две точки (0, b/a2 ) и (b/a1, 0). Дальше через эти две точки можно по линейке провести прямую линию (рисунок 2).
Если же b=0, то на прямой лежит точка (0, 0). Чтобы найти другую точку, можно взять любое отличное от нуля значениеx1 и вычислить соответствующее ему значение x2.
Эта построенная прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости. В одной ее части a1 x1 + a2 x2 < b, а в другой наоборот a1 x1 + a2 x2 > b. Узнать, в какой полуплоскости, какой знак имеет место проще всего посмотрев, какому неравенству удовлетворяет какая-то точка плоскости, например, начало координат, т. е. точка (0, 0).
2. Теоретическое введение
Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.
Каждое из неравенств задачи линейного программирования (1.2) определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость (рис.2.1), а система неравенств в целом - пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т. е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.2) ОДР является пустым множеством.
Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1.2) включает равенства, поскольку любое равенство
Можно представить в виде системы двух неравенств (см. рис.2.1)
ЦФ при фиксированном значенииопределяет на плоскости прямую линию. Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.
Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой останется постоянным (см. рис.2.1). Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.
Вектор с координатами из коэффициентов ЦФ при и перпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис.2.1). Направление вектора совпадает с направлением возрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направление убывания ЦФ противоположно направлению вектора.
Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки. Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции. Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.
При поиске оптимального решения задач линейного программирования возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений - единственная точка; задача не имеет решений.
Похожие статьи
-
Методика решения задач ЛП графическим методом - Линейное программирование
I. В ограничениях задачи (1.2) заменить знаки неравенств знаками точных равенств и построить соответствующие прямые. II. Найти и заштриховать...
-
Кратко напомним некоторые фундаментальные определения и теоремы линейной алгебры и выпуклого анализа, которые широко применяются при решении проблем как...
-
Варианты - Решение задач линейного программирования с использованием Microsoft Excel
Используя MS Excel, найти решение для модели ЛП, соответствующей заданному варианту (табл. 1.5). Таблица 1.5 Варианты задач к лабораторной работе № 1 №...
-
"РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MICROSOFT EXCEL" Цель работы Приобретение навыков решения задач линейного программирования...
-
Постановка задачи: Фирма приобрела технологическую линию за начальную стоимость Sn. Срок службы технологической линии составляет K лет. Остаточная...
-
Транспортная задача - Линейное программирование
Одна из наиболее распространенных задач математического программирования -- транспортная задача. В общем виде ее можно представить так: требуется найти...
-
Геометрический метод, Двойственная задача - Линейное программирование
Применяется для задач с двумя переменными. Метод решения состоит в следующем: На плоскости строятся прямые, которые задают соответствующие ограничения:...
-
Заключение - Линейное программирование
В данной дипломной работе мною были освоены навыки решения задач линейного программирования геометрическим методом. Для этого я изучил теоретические...
-
Решение задач линейного программирования - Основы информатики
Имеются n пунктов производства и m пунктов распределения продукции. Стоимость перевозки единицы продукции с i-го пункта производства в j-ый центр...
-
1. Каковы основные этапы решения задач ЛП в MS Excel? 2. Каков вид и способы задания формул для целевой ячейки и ячеек левых частей ограничений? 3. В чем...
-
Теоретическая основа линейного программирования, Симплекс метод - Линейное программирование
Симплекс метод Симплекс метод - метод линейного программирования, который реализует рациональный перебор базисных допустимых решений, в виде конечного...
-
Формулировка задачи - Линейное программирование
Даны линейная функция Z=С1 х1 +С2 х2 +...+СN xN (1.1) И система линейных ограничений A11 x1 + a22 x2 +... + a1N ХN = b1 A21 x1 + a22 x2 +... + a2N ХN =...
-
Языки и системы программирования, их эволюция - Автоматизация решения задач пользователя
Язык программирования - это способ записи программ решения различных задач на ЭВМ в понятной для компьютера форме. Процессор компьютера непосредственно...
-
На рисунке 1 представлен фрагмент электронной таблицы, в которой содержаться исходные данные для решения задачи. Рисунок 1 - Фрагмент электронной...
-
Признак оптимальности плана перевозок T. З. устанавливает теорема. Теорема. Для того, чтобы некоторый допустимый план X = (xij)m-nT. З. был оптимальным,...
-
Аналитический способ решения задачи №3 представляет собой проверку вычислений: - для лица Лушников В. В. сумма налога на дарение составит 0, т. к. сумма...
-
Анализ предметной области Описание ПО решаемой задачи Предметной областью задачи № 2 также является процесс оплаты денежных средств по кредиту. Решается...
-
Вариант №1 1. Выбрать и обосновать наиболее эффективный метод решения задачи. 2. Разработать алгоритм и программу для решения задачи в общем виде. 3....
-
Дана система линейных уравнений (СЛУ) с n неизвестными: В матричной форме записи система (1) имеет вид: (2) Где : n - порядок системы; - матрица...
-
Введение - Линейное программирование
Линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой...
-
Под критическим значением параметра регулятора (K или Т) понимается такое значение (Ккр или Ткр), при котором система оказывается на границе...
-
Описание задачи, Моделирование бизнес-операций - Основы технологии программирования
Необходимо разработать клиент-серверную информационную систему для организации. Организация владеет сведениями о станциях грузоотправления,...
-
Предложенный подход к решению задач исследования Используя в качестве основы присутствующее в наличии программное обеспечение, которое применимо к...
-
Транспортная задача (Т. З.) является одной из распространенных задач линейного программирования специального вида. Эта задача такого наиболее...
-
Оргтехника, ПК, телефонные аппараты На данный момент начальник ДЧ ЛОП использует комплекс технических средств, который предназначен для обработки...
-
Постановка задачи Необходимо разработать программу для поиска автобусных маршрутов. В качестве среды разработки должна использоваться Delphi 7. В...
-
Значения свойств объектов можно менять двумя способами: При проектировании : В каждый момент проектирования только один объект является выделенным...
-
Язык программирования R - Технологии больших данных: анализ и выбор решения для реализации проекта
Язык программирования R является универсальным и разработан для применения в следующих областях: разведочный анализ данных, классические статистические...
-
Связь типов информационных систем с задачами принятия решений - Системы поддержки принятия решений
Применяются отдельные модели и методы для принятия оптимальных решений. Отметим, что в существенной мере характер всех поколений систем и их концепций...
-
Линейная зависимость - Составление программы для решения системы уравнений
Рассмотрим подробнее аппроксимирующие зависимости Y(x)=f(x, B 0 ,B 1,..., B N ) с двумя параметрами: Y(x)=f(x, B 0 ,B 1 ) Используя соотношения (1) и...
-
Транспортная задача оптимальность Поставим в соответствие поставщикам потенциалы Ui, , а потребителям - Vj, . В оптимальном плане для всех базисных...
-
Для создания наиболее совершенных и экономичных механизмов и машин важно получить оптимальный вариант входящих в них редукторов (МЗП). Показатель, на...
-
Теорема. Чтобы транспортная задача была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: (1.5) Доказательство: Необходимость. Пусть...
-
Линейное программирование - Линейное программирование
Линейный программирование математический графический Что же такое линейное программирование? Это один из первых и наиболее подробно изученных разделов...
-
Обобщенный алгоритм решения задачи Необходимо рассчитать сумму налога на дарение, воспользовавшись налоговой шкалой. Если сумма подарка менее 80, то она...
-
Для определения выплат по займу используется финансовая функция ПЛТ (Ставка, КПер, Пс, Бс, Тип). Определим значения параметров функции ПЛТ: Ставка =9%...
-
Методы Рунге-- Кутты-- важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы...
-
Заключение - Электронный учебник по предмету "Основы алгоритмизации и программирования"
В ходе выполнения данной работы был проведен анализ научной и методической литературы, была изучена специфика электронного пособия, изучен и освоен язык...
-
Из универсальных языков программирования сегодня наиболее популярны следующие: Бейсик (Basic), Паскаль (Pascal), Си++ (C++), Ява (Java). Для каждого из...
-
Понятие о компьютерном математическом моделировании Модель - материальный объект, система математических зависимостей или программа, имитирующая...
Математические основы решения задачи линейного программирования графическим способом, Математический аппарат - Линейное программирование