Описание методов нахождения собственных частот - Четырехмассовая динамическая модель трансмиссии автомобиля

Собственными называют периодические колебания консервативной системы, совершающиеся исключительно под воздействием инерционных и упругих сил. Для возбуждения таких колебаний достаточно приложить к системе какое-нибудь начальное возмущение, т. е. вывести ее из состояния равновесия. После прекращения действия возмущения в системе устанавливаются собственные колебания. Углы поворота масс описываются уравнением

Где i - номер массы, j - порядковый номер собственной частоты, j - фазовый угол, Aij - амплитуда колебаний i - ой массы на j - ой собственной частоте.

Из формулы следует, что в общем случае все массы системы совершают сложное колебательное движение, называемое полигармоническим.

Для нахождения собственных частот I объекта нужно в каком-либо виде записать его частотное уравнение R() как функцию инерционных и упругих параметров. Корни этого уравнения являются собственными частотами колебаний. Собственные частоты нумеруют в порядке возрастания, начиная с 1,

Частотное уравнение R() легко получается из передаточной функции рассматриваемой динамической модели объекта. Для этого достаточно приравнять нулю знаменатель передаточной функции и принять равными нулю коэффициенты демпфирования, т. е. считать систему консервативной.

Форма записи частотного уравнения R() может быть различной: в виде определителя, полиномиального уравнения, рекуррентных уравнений, цепной дроби и т. д. График изменения R() от частоты показан рис.1. Точки пересечения R() с осью абсцисс соответствуют собственным частотам. Критерием нахождения собственной частоты в интервале i... i+1 является знак произведения

Z = R(i)R(i+1) 0 ,

Который должен быть отрицательным или равным нулю.

Используя линейную интерполяцию, находим j-ю собственную частоту модели:

,

Где h - шаг счета.

график изменения частотной функции r()

Рисунок 2.1 - График изменения частотной функции R().

При расчете находятся или все собственные частоты, число которых обычно известно, или расположенные в определенном частотном диапазоне. Таким образом, в первом случае для нахождения собственных частот сначала нужно записать частотное уравнение и, увеличивая от min (обычно min = 0), найти нужное количество пересечений функции R() с частотной осью. Во втором случае собственные частоты ищутся в определенном частотном диапазоне.

Для записи частотного уравнения используют различные методы.

В общем случае для рассчитываемой консервативной модели составляются уравнения движения, которые сначала записываются в операторном виде (в преобразованиях Лапласа), а затем - в систематизированном виде. В результате получается система алгебраических уравнений, по которой составляют характеристический определитель системы R(s). Полученный характеристический определитель R(s) преобразовывают в частотный определитель R() заменой оператора s2 на -2. Таким образом, получают уравнение частот собственных колебаний, записанное в виде определителя. Например, для динамической модели с четырьмя парциальными системами:

,

Где Ri = i - i, i = 1,4 - частотные функции парциальных систем;

I - квадраты собственных частот парциальных систем;

Ri, i+1 - коэффициенты связи одной парциальной системы с другой.

Описанный выше метод нахождения частотного уравнения известен в литературе как матричный метод.

Логическим развитием матричного метода является метод декомпозиции или последовательного расщепления. Метод отличается наглядностью, простотой и не требует составления уравнений движения.

Сначала динамическая модель делится на две подсистемы с повторением какой-нибудь массы Jк. Частотное уравнение всей системы равно произведению частотных уравнений этих подсистем минус коэффициент связи к-1,к между ними, умноженный на частотные уравнения подсистем, которые получаются из исходной модели, если отбросить массу Jк и разорвать упругие звенья cк-1 и cк. Аналогичным методом выполняется дальнейшее расщепление системы. Если расщепление выполняется на массе, которая связана с несколькими упругими звеньями, то учитываются все возможные пути прохождения сигналов из одной подсистемы в другую.

На рис. 2 процесс последовательного расщепления показан на примере 5-массовой неразветвленной динамической модели.

графическая интерпретация метода последовательного расщепления неразветвленной динамической модели

Рисунок 2.2 - Графическая интерпретация метода последовательного расщепления неразветвленной динамической модели

Сначала динамическая модель расщепляется, например, на массе J3. В результате получаются две подсистемы с частотными уравнениями R12 и R34. Эти две подсистемы связаны между собой коэффициентом связи. Отсюда уравнение частот модели оказывается равным

R = R1234 = R12 R34 - г23 R1 R4 = 0.

Аналогичным образом расщепляются подсистемы с частотными уравнениями R12 и R34:

R12 = R1 R2 - г12; R34 = R3 R4 - г34.

После подстановки уравнений (2) в (1) получается уравнение частот рассматриваемой динамической модели:

R = (R1 R2 - г12) (R3 R4 - г34) - г23 R1 R4 = 0.

В качестве примера в табл. 3 приведены уравнения частот собственных колебаний динамических моделей различных типов. Нижние индексы соответствуют номерам упругих звеньев, верхние в круглых скобках - номерам неподвижно закрепленных масс, верхние без скобок - номерам масс, на которых произведено расщепление кольцевой модели.

У разветвленных динамических моделей (табл. 3, б...е) возможны два пути прохождения сигнала из одной подсистемы в другую. В связи с этим в уравнениях частот появляются дополнительные слагаемые (со знаком минус). При разветвлении на массе (табл. 3, б, д) в этих слагаемых присутствуют подсистемы с защемленной массой, на которой происходит разветвление. При дифференциальном разветвлении (табл. 3, в, е), т. е. при дифференциальном разветвлении таких подсистем нет. Это связано с тем, что при прохождении сигнала соответствующие координаты становятся равными нулю, что равнозначно разрыву упругих звеньев и защемлению масс.

Похожие статьи




Описание методов нахождения собственных частот - Четырехмассовая динамическая модель трансмиссии автомобиля

Предыдущая | Следующая