Необходимые алгоритмы реализации метода конечных элементов, Теоретические аспекты поставленной задачи - Реализация метода конечных элементов для расчета ферменных конструкций под ОС Android

Теоретические аспекты поставленной задачи

В этой части проекта будут объяснены этапы применения МКЭ для плоской фермы.

В первой главе было рассмотрено понятие фермы - структуры, состоящей из стержневых элементов с двумя узлами, а также определена связь с методом прямой жесткости. Как правило, ферма состоит из 5 или более треугольных единиц, соединенных узлами, определяющими форму конструкции. Внешние силы работают либо на растяжение, либо на сжатие, действуют только в узлах. Деформируемая система в методе конечных элементов представляет собой множество подобластей - конечных элементов, положение определяется конечным числом степеней свободы. Преимущества такого разделения были рассмотрены в первой главе.

Плоская ферма - ферма, где все элементы и узлы лежат в двумерной плоскости, в отличие от пространственной конструкции с тремя измерениями.

Простейшим структурным элементом в МКЭ является двухузловой или линейный элемент. Существуют также элементы, например с шестью или даже 64 узлами, показанными на рисунке 2. Несмотря на это, в методе прямой жесткости все элементы, независимо от сложности, воспринимаются одинаково.

типы конечных элементов

Рис.2. Типы конечных элементов.

Рассмотрение задачи МКЭ для элементов с двумя узлами имеет большие преимущества:

    (А) вычисления могут быть полностью произведены вручную, в отличие от других элементов, представленых выше. Это позволяет понять этапы решения. (Б) относительно простая реализация метода конечных элементов на компьютере на любом языке программирования.

Сначала рассмотрим математическую модель метода для плоской задачи.

Конструкция, представленная на рис.3., имеет три элемента и три узла с координатами X и Y. Также для каждого элемента задаются необходимые параметры: модуль Юнга, характеризующий сопротивление растяжению или сжатию, площадь поперечного сечения, плотность и длина элемента. Задача рассматривается в декартовой системе координат.

Ключевые элементы метода прямой жесткости - усилия f, действующие на узлы и их перемещения u, происходящие под действием этих сил. Силы, действующие на координаты X и Y узла с номером i, обозначаются и соответственно. Аналогично происходит обозначение смещений и. Объединение всех представленных компонентов в вектор представлено ниже, их количество определяет степень свободы системы. В методе прямой жесткости перемещения узлов, определяющих смещение фермы неизвестны.

,

плоская ферменная конструкция с действующими на нее осевыми усилиями

Рис.3. Плоская ферменная конструкция с действующими на нее осевыми усилиями.

Для связи этих векторов необходимо сформировать глобальную матрицу жесткости K для всей ферменной конструкции:

.

Элементы матрицы - коэффициенты жесткости, имеющие определенный смысл. Например, представляет силу по оси Y, действующую на узел 1, при которой возникает смещение второго узла по оси X.

Связывающее уравнение в краткой форме представлено формулой (1):

F = K*U (1).

Рассмотрим этапы решения задач методом прямой жесткости более подробно.

Сначала требуется разбить рассматриваемую конструкцию на элементы. Затем вместе с узлами их нужно пронумеровать. Этот процесс очень важен, поскольку влияет на эффективность вычислений, необходимых для получения решения. Использование МКЭ приводит к системе линейных алгебраических уравнений с большим количеством нулевых коэффициентов. Для плоской задачи все коэффициенты будут лежать между двумя линиями, параллельными главной диагонали матрицы. Расстояние между главной диагональю и этими линиями называется шириной полосы матрицы. Эффективная нумерация приводит к уменьшению размеров требуемой машинной памяти и сокращению времени вычислений. Далее для каждого элемента задается локальной системой координат в виде, где е - номер элемента. (Рис.4-5)

на элементы и выбор системы координат

Рис.4.Разделение на элементы и выбор системы координат

элемент с узлами i, j в локальной системе координат

Рис.5.Ферменный элемент с узлами i, j в локальной системе координат.

Из рисунка 5 видно, что элемент плоской ферменной конструкции имеет 4 компонента для узлов и перемещений, то есть 4 степени свободы. Эти компоненты связываются между собой с помощью локальной матрицы жесткости, как показано в полной или краткой формуле (2):

,

. (2)

Вектора и называются узловыми силами и перемещениями для элемента. Разберем построение матрицы.

Из механики материалов следует, что жесткость элемента равна,

Где E - модуль Юнга, A - площадь поперечного сечения, L - длина элемента.

Следовательно, можно записать следующее выражение: , где F - внутреннее осевое усилие, D - Удлинение. В терминах узловых сил и перемещений: , . В итоге получаем матрицу жесткости в локальной системе координат(3):

(3)

Следующая задача - сформировать из локальных матриц глобальную матрицу жесткости. Так как каждый элемент имеет свою собственную систему координат, то необходимо использовать матрицы поворота T и (транспонированная матрица T) для перемещений и усилий соответственно, чтобы привести все системы к общему виду (рис.4.) .

Где с = cos, s = sin.

Рис.4. Поворот элемента на угол в декартовой системе координат.

Пусть е - индекс элемента. Запишем формулу (1) с учетом этого номера:

Также перепишем формулы для вышеуказанных матриц поворота.

,

Используя формулу (2), получаем

Итак,

, (4)

Где

Формула(4) определяет глобальную матрицу жесткости для элемента.

Следующий этап - объединение уравнений для каждого элемента в одну глобальную систему. Здесь необходимо учесть два правила:

    1) объединенные узлы должны двигаться, как единое целое 2) сумма внутренних сил, действующих со стороны всех элементов, которые имеют общий узел, равна внешний силе, действующей на тот же узел.

После этого для каждого элемента к матрице, представленной в формуле(4), добавляются строки и столбцы с нулевыми элементами. Номера добавленных строк и столбцов соответствуют номерам узлов, не принадлежащих этим элементам. Такой способ применяется для ручной работы, на компьютере он является неэффективным из-за большого выделения памяти.

Получив уравнениядля элементов, i определяет номер элемента, записывается общее уравнение для всей ферменной конструкции.

,

Где N - количество элементов.

Поскольку матрица является сингулярной, то для решения уравнений необходимо применить граничные условия. В ручном методе проще всего удалить уравнения, соответствующие нулевым перемещениям. Для компьютерной реализации расширение матрицы не происходит. Она вставляется в свободную таблицу для элементов. Для нулевых перемещений зануляются строки и столбцы, соответствующие нулевым перемещениям и силам и устанавливаются единицы на диагоналях для убирания сингулярности. Если узловое перемещение ненулевое, то исходная система (5) преобразуется в (6). Таким образом, получаем итоговую систему линейных алгебраических уравнений.

(5)

(6)

Завершающий этап вычисления неизвестных перемещений заключается в решении системы. Существует большое множество способом: матричный метод, метод итерации, прогонки и др. Однако метод Гаусса является самым наглядным и простым из всех вариантов. В дальнейшем, именно он будет использоваться для реализации МКЭ.

В пространственной задаче метода прямой жесткости алгоритм действия аналогичен за небольшим исключением: матрица поворота записывается в виде:

,

Где

,,,

А глобальная матрица жесткости:

[13][14][15][16][17].

Похожие статьи




Необходимые алгоритмы реализации метода конечных элементов, Теоретические аспекты поставленной задачи - Реализация метода конечных элементов для расчета ферменных конструкций под ОС Android

Предыдущая | Следующая