Пассивный участок траектории ЛА, Формирование случайных процессов на ЭВМ - Исследование рассеивания неуправляемого летательного аппарата

Расчет траекторных параметров на конце пассивного участка полета ЛА произведен с помощью программы, созданной в ОПП "Matlab". Шаг интегрирования равен 0,01. Результаты представлены в табл. 5. Входными данными являются параметры движения в конце активного участка.

Формирование случайных процессов на ЭВМ

При исследовании динамики систем методом моделирования возникает задача воспроизведения случайных процессов с заданными статистическими свойствами. Эту задачу можно решить путем пропускания белого шума через формирующий фильтр.

В общем случае случайную функцию можно считать заданной, если известны все многомерные законы распределения для любых значений из области аргумента t. В рамках корреляционной теории случайную функцию характеризуют математическим ожиданием:

(1)

И корреляционной функцией:

(2)

Где - центрированная случайная функция, f(x/t), - одномерный и двумерный дифференциальные законы распределения.

Корреляционная функция при значении представляет собой дисперсию случайного процесса:

(3)

Если случайная функция x(t) является стационарной, то справедливы соотношения:

; ; =; (4)

Случайная функция x(t) обладает эргодическим свойством, если ее характеристики m(x), могут быть определены осреднением по времени одной реализации достаточной длительности. Достаточным условием эргодичности стационарной случайности функция является стремлением к нулю ее корреляционной функции:

(5)

Наряду с корреляционной функцией стационарную, случайную функцию можно характеризовать спектральной плотностью.

Спектральная плотность и корреляционная функция однозначно получаются друг из друга как прямое и обратное преобразования Фурье:

(6)

(7)

Спектральная плотность характеризует распределение дисперсии случайного процесса по частотам его гармонических составляющих:

(8)

При исследовании двух x(t), y(t) или более случайных процессов в рассмотрении вводятся взаимные корреляционные функции и взаимные спектральные плотности :

= (9)

(10)

Стационарный, случайный процесс, обладающий постоянной спектральной плотностью:

(11)

Принято называть белым шумом. Его корреляционная функция согласно (6)

(12)

Где - дельта-функция.

Дисперсия такого случайного процесса, как следует из (7), равна бесконечности, поэтому определенный выше белый шум является математической абстракцией и физически не реализуем.

В практических задачах под белым шумом понимает случайный процесс, спектральная плотность которого постоянно в широком диапазоне частот перекрывают полосу пропускания исследуемой системы. В лабораторных исследованиях случайные процессы такого вида получаются с помощью специальных приборов-генераторов белого шума.

В основу метода получения из белого шума случайных процессов с различными спектральными плоскостями положено свойство динамической системы изменять спектральный состав входных воздействий. Для систем, динамические свойства которые описывают передаточной функцией Ф(p), формула, связывающая спектральные плотности входного x(t) и выходного y(t) сигналов, имеет вид:

(13)

Если входным сигналом является нормированный белый шум со спектральной плотностью, то спектральная плотность выходного сигнала:

(14)

Эта формула позволяет способ определения передаточной функции формирующего фильтра, преобразующего белый шум в случайный процесс с заданной спектральной плотностью. Для этого надо спектральную плотность представить в виде произведения двух комплексно сопряженных сомножителей:

(15)

Тогда передаточная функция формирующего фильтра находится по формуле:

(16)

Разложение (15) возможно, если спектральная плотность является дробно-рациональной функцией.

Горизонтальная (продольная) турбулентность атмосферы

Продольная турбулентность, действующая на ЛА, описывается стационарным случайным процессом с ковариационной функцией:

(17)

Для определения передаточной функции соответствующего формирующего фильтра найдем спектральную плотность:

(18)

Полученное выраженье запишем в формуле (15):

Отсюда, на основании (16), передаточная функция формирующего фильтра:

(19)

Где,

Таким образом, для получения случайного процесса с корреляционной функцией (17) надо пропустить белый шум через фильтр с передаточной функцией (19). Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид:

(20)

Вертикальная (поперечная) турбулентность атмосферы

Из экспериментальных данных следует, что вертикальные порывы ветра, действующие на ЛА, движущийся со скоростью V, описываются случайной функцией, корреляционная функция и спектральная плотность которой имеет вид:

(21)

(22)

Где L - масштаб турбулентности,- среднеквадратическое отклонение, характеризующее интенсивность турбулентности.

Для получения из белого шума такого случайного процесса необходимо определить передаточную функцию формирующего фильтра. Для этого выражение (2) преобразуется к виду :

(23)

Где

Отсюда находим передаточную функцию:

(24)

Дифференциальное уравнение, описывающее динамику фильтра, может быть записано в виде:

Где или в виде:

(25)

Для моделирования на компьютере приведем уравнение второго порядка (26) к системе двух уравнений первого порядка:

(26)

Где

(27)

Определение характеристик стационарных процессов по реализациям

При работе динамической системы на ее входы действуют случайные сигналы, вероятные характеристики которые обычно известны. Во многих прикладных задачах вероятные характеристики случайных процессов определяются экспериментально путем обработки реализации этих процессов.

В работе считается, что заданы реализации случайного процессаx(t) в дискретном ряде точек:

(28)

Оценка математического ожидания рассчитывается по формуле:

(29)

Оценка дисперсии рассчитывается по формуле:

(30)

За оценку среднеквадратического отклонения можно принять:

(31)

Итоговая система дифференциальных уравнений движения БПЛА в турбулентной атмосфере

Где =N(0,1), - шаг интегрирования,

Исследовательская часть

Графики распределения параметров турбулентной атмосферы:

Графики распределения основных параметров движения БПЛА:

Отклонение дальности от номинальной:

L(W = 0 м/с)= 6613.51 м

L(Wx, Wy)=6659,31м

Исследование разброса дальности для различного числа пусков.

100

-4.451

9161.1

95.7

200

-6.46

8423.33

91.78

300

-2.3

7138.401

84.489

Гистограммы распределения:

Гистограммы распределения dL(N)

N=100

N=200

N=300

Построение коридоров:

Выводы по проделанной работе

В ходе выполнения курсовой работы была построена математическая модель неуправляемого реактивного снаряда с учетом следующих допущений:

    - Реактивная сила R равна нулю (R=0). - Поверхность Земли представляется в виде бесконечной плоскости. - Коэффициент сопротивления Cx считаем постоянным на всей траектории полета снаряда. - Масса ЛА при движении по направляющим и на пассивном участке постоянна (=const). - Шаг интегрирование был взят =0,01с.

По построенной математической модели была создана компьютерная модель полета снаряда, которая заключалась в написании программ реализующих методы численного интегрирования (Рунге - Кутта). В ходе вычислений были получены N - испытаний с учетом влияния турбулентности атмосферы, распределенные по нормальному закону. По этим данным была определена чувствительность дальности к действию ветра, а так же определены оценки математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения, отклонения дальности от номинальной. Как видно из значений математического ожидания и графика распределения отклонения дальности распределение отклонения дальности близко к нормальному.

Похожие статьи




Пассивный участок траектории ЛА, Формирование случайных процессов на ЭВМ - Исследование рассеивания неуправляемого летательного аппарата

Предыдущая | Следующая