Оценка параметров многомерной функции распределения - Измерения параметров сигнала

Параметр амплитуда сигнал

6.1. Обобщение основных определений на многомерные распределения. До сих пор мы изучали теорию оценок параметров или самих распределений одной случайной величины. Практический интерес представляют также оценки многомерных распределений или их параметров для совокупности зависимых случайных величин. В параметрической теории вид многомерной функции распределения этой совокупности известен, и оцениваются лишь неизвестные параметры, в непараметрической теории оценке подлежит сама функция распределения. В любом случае основанием для статистических выводов служит выборка из многомерного распределения. В отличие от одномерного случая, элементами такой (размера n) выборки служат не единичные измерения (числа), а N чисел. Тогда результаты измерений представляют собой прямоугольную матрицу размером (пример: отсчеты сигналов на выходах антенной решетки в разные моменты времени) . Функция правдоподобия выборки из N-мерного распределения представляет собой функцию n векторных аргументов. Параметрами этой функции представляют матрицы (или векторы), элементами которых являются неизвестные параметры многомерного распределения совокупности случайных величин. В частном случае для независимых элементов многомерной выборки функция правдоподобия

,

Где - плотность вероятности совокупности случайных величин.

По выборке Х определяются S выборочных матриц (или векторов), зависящих от выборочных векторов, , I = 1,..., S, в предположении, что параметры плотности вероятности фиксированы. Эти выборочные матрицы (или векторы) представляют условные оценки матриц (или векторов), элементами которых являются неизвестные параметры.

Каждая из условных оценок называется состоятельной, если при она сходится к. Оценка называется несмещенной, если для любого N ее среднее значение по совокупности векторных выборок равно. При этом следует иметь в виду, что под средним значением случайной матрицы (вектора) понимают матрицу (вектор), элементы которой равны средним значениям элементов случайной матрицы (вектора). Таким же образом обобщается понятие и совместно достаточных оценок. Для этого скалярные аргументы заменяются векторными.

Оценки максимального правдоподобия получаются из системы уравнений

.

6.2. Оценки векторов средних и корреляционной матрицы многомерного нормального распределения. Проиллюстрируем указанные обобщения на примере N-мерного нормального распределения. Запишем плотность вероятности этого распределения в векторной форме:

,

Где A - вектор средних значений; M - корреляционная матрица.

Пусть - независимые выборочные N-мерные векторы из нормального распределения. Функция правдоподобия выборки равна произведению N-мерных нормальных плотностей вероятностей:

=

.

Введем вектор выборочных средних значений и выборочную корреляционную матрицу. Можно доказать, что оценка вектора математических ожиданий является несмещенной, в то время как оценка корреляционной матрицы смещенная, так как ее математическое ожидание равно. Поэтому несмещенной оценкой корреляционной матрицы M является величина.

Похожие статьи




Оценка параметров многомерной функции распределения - Измерения параметров сигнала

Предыдущая | Следующая