Спектральные характеристики СП - Случайные процессы

В случае стационарных СП оказывается невозможным применение хорошо разработанного для детерминированных процессов аппарата спектрального анализа, основанного на преобразовании Фурье, т. к. в общем случае любая из реализаций стационарного СП не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости в бесконечных пределах.

Рассмотрим отрезок произвольной K-Ой реализации стационарного случайного процесса :

При конечной длительности T рассматриваемого отрезка реализации условия существования преобразования Фурье функции могут оказаться выполненными. Тогда спектр функции равен:

,

Где оператор означает прямое преобразование Фурье.

Введем в рассмотрение среднюю мощность функции на интервале T:

.

Используя формулу Парсеваля для сопряженных по Фурье функций, имеем:

.

Тогда средняя мощность может быть представлена в форме:

.

С другой стороны, вводя в рассмотрение спектральную плотность средней мощности отрезка K-Ой реализации, имеем:

,

Так что в результате спектральная плотность может быть записана в виде:

.

Проводя усреднение по всему ансамблю реализаций процесса, получим спектральную плотность средней мощности отрезка (длительностью T) случайного процесса :

.

Предел при

Существует для большинства представляющих практический интерес стационарных случайных процессов и называется Энергетический спектр (спектральная плотность средней мощности) случайного процесса .

Для вещественных процессов из свойств преобразования Фурье имеем:

,

Так что

.

Похожие статьи




Спектральные характеристики СП - Случайные процессы

Предыдущая | Следующая