Совместные распределения СП, Стационарность и эргодичность СП - Случайные процессы

Рассмотрим два случайных процесса и.

Совместная функция распределения - го порядка:

Совместная плотность вероятностей - го порядка:

.

Если для любых N, m и любых моментов времени

То процессы и называются Статистически независимыми. В этом случае, очевидно,

Аналогично смешанным моментам случайных величин вводятся Совместные (взаимные) моменты распределения различных СП. Важнейший из них - Взаимная корреляционная функция Двух СП:

.

Соответственно, Центрированная взаимная корреляционная функция имеет вид:

.

Если и статистически независимы, то, очевидно,

;

.

Стационарность и эргодичность СП

Если для любого N при любом T выполняется соотношение

,

Такой СП называется Стационарным. Для стационарного процесса, в частности:

.

Поскольку одномерная плотность, то любые не смешанные моменты вида, также не зависят от времени. В частности, для математического ожидания и дисперсии СП соответственно имеем:

.

Корреляционная функция при этом зависит только от :

.

При этом, очевидно,

.

Заметим, что

При этом

.

Рассмотрим неотрицательную величину, где _ cтационарный СП. Имеем:

Отсюда

.

Аналогично

.

Введем в рассмотрение Коэффициент корреляции Процесса :

.

Очевидно:

,

Причем.

Часто для описания СП оказывается достаточным знать только моменты первых двух порядков и корреляционную функцию, определяемые плотностью вероятностей СП первых двух порядков. Если свойство стационарности СП выполняется, по крайней мере, для одномерной и двумерной плотностей, такой СП называется сТационарным в широком смысле.

Можно показать, что Для нормального процесса (т. е. процесса, многомерная функция распределения которого является гауссовой) понятия стационарности и стационарности в широком смысле совпадают.

Понятие стационарности можно распространить и на совокупность СП. Так, если:

То процессы, называются Стационарно связанными.

Рассмотрим два стационарных и стационарно связанных случайных процесса и. Их взаимная корреляционная функция, очевидно, зависит только от величины, т. к. для любого значения выполняется:

Итак, .

При этом, очевидно, имеем:

.

Аналогично, для центрированной взаимной корреляционной функции:

.

Напомним, что для корреляционной функции стационарного процесса имело место иное соотношение

.

Рассмотрим неотрицательную величину

Откуда

Таким же образом можно показать, что

Или

.

Аналогично коэффициенту корреляции стационарного случайного процесса вводится Коэффициент взаимной корреляции Стационарных и стационарно связанных процессов,:

Причем и.

Заметим, что, в отличие от соотношения, в общем случае имеет произвольное значение, удовлетворяющее условию.

Не следует считать, что в физических приложениях типичными процессами являются стационарные. Так, например, смесь шума, описываемого стационарным СП, и сигнала, описываемого детерминированным процессом, представляет собой нестационарный СП:

.

Действительно, одномерное распределение зависит не только от распределения, но и от значения в любой момент времени T.

Важным классом случайных процессов являются так называемые Эргодические процессы.

Случайный процесс называется Эргодическим, если любая его вероятностная характеристика, полученная усреднением по множеству возможных реализаций, с вероятностью сколь угодно близкой к единице равна соответствующей характеристике, полученной путем усреднения по времени на основании анализа любой реализации этого СП.

Очевидно, что необходимым условием эргодичности СП является его стационарность. Однако, это условие не является достаточным. Действительно, рассмотрим стационарный СП вида:

,

Где A и Ц являются случайными величинами, не зависящими от времени, причем величина Ц распределена равномерно в интервале. Очевидно, что наличие реализаций с различными значениями амплитуды A не позволяет оценить параметры данного СП по произвольно выбранной реализации, так что процесс эргодическим не является.

Часто оказывается необходимым вычисление, в первую очередь, математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции стационарного СП. Можно показать, что достаточным условием Эргодичности относительно перечисленных вероятностных характеристик является стремление к нулю его центрированной корреляционной функции при.

Итак, для эргодических относительно, и процессов имеем:

;

,

Где _ любая I-Ая реализация процесса.

Похожие статьи




Совместные распределения СП, Стационарность и эргодичность СП - Случайные процессы

Предыдущая | Следующая