Теория Леманна - Анализ статистических свойств процедуры построения минимального остовного дерева

Один из методов множественной проверки гипотез был предложен и подробно описан Леманном в [10]. Рассмотрим данный метод на примере выбора акций в рыночной сети. Эта проблема была поставлена и решена в [1].

В данной статье проблема выбора акций была поставлена следующим образом: выбирались акции, удовлетворяющие гипотезе, где - заданный порог. Основными трудностями при решении этой проблемы являются, с одной стороны, многомерный статистический характер проблемы, и с другой стороны, большой выбор возможных решений. В работе [1] проблема выбора акций ставилась как проблема множественного выбора одной гипотезы из множества гипотез:

,

,

,

,

Где (общее количество всех гипотез),-количество акций на рынке. Для решения поставленной проблемы авторы строят оптимальную статистическую процедуру. В данном случае статистическая процедура - это отображение из выборочного пространства в пространство решений.

Порождающие гипотезы

Введем семейство порождающих гипотез

(1)

В данном случае

,

,

,

,

Где символ обозначает пересечение в параметрическом пространстве параметра

- Совместимость

Пусть - решение принять гипотезу, - решение отклонить гипотезу. Для тестирования порождающих гипотез используются следующий тип тестов

,

Где - тестовая статистика. Пусть тогда

.

Предположим, что статистика такова, что все пересечения, выборочных регионов о принятии или отклонении соответствующих порождающих гипотез не пусты. В данном случае есть однозначное соответствие между разбиением (2) в выборочном пространстве и разбиением (1) в параметрическом пространстве. Тогда процедура со многими решениями запишется следующим образом:

,

- Функция потерь

Пусть - потери от отклонения верной гипотезы, - потери от принятия неверной гипотезы (. Пусть - потери от решения, учитывая, что гипотеза верна (. Связь между потерями решающее значение в теории проверки многих статистических гипотез и известна как условие аддитивности. Это означает, что потери от неправильной классификации акций равны сумме потерь от неправильной классификации каждой отдельной акции.

В общем виде

,

Где

- Условный риск

Качество каждой статистической процедуры измеряется условным риском. В данном случае условный риск определяется как

,

,

Согласно предположению об аддитивности, условный риск принимает форму

,

Похожие статьи




Теория Леманна - Анализ статистических свойств процедуры построения минимального остовного дерева

Предыдущая | Следующая