Нелинейный регрессионный анализ, Множественный регрессионный анализ - Основы научных исследований

Линейные по параметрам регрессионные модели можно использовать для аппроксимации нелинейных зависимостей путем их линеаризации с помощью базисных функций. Например, эмпирические точки достаточно хорошо укладываются на кривую обратной гиперболы (рис. 15.2а). Очевидно, что преобразованием независимой перемен-ной перейти к линейной зависимости (рис.15.2б).

линеаризация нелинейной зависимости

Рисунок 15.2 Линеаризация нелинейной зависимости

Следовательно, линеаризация состоит в подборе подходящей базисной функции, превращающей нелинейную зависимость в линейную. Практически следует нанести эмпирические точки на плоскость ХОУ и оценить, какая из известных функций может аппроксимировать данную кривую. Затем осуществить соответствующее преобразование Х или У.

Например, если подходящей аппроксимацией является логарифмическая функция, то или. Получим линейные зависимости

или

Далее проводится линейный регрессионный анализ и определяются А0 и А1. Затем осуществляется обратное преобразование: или и получается искомая нелинейная зависимость.

Множественный регрессионный анализ

При исследовании многофакторных зависимостей возникает необходимость во множественном регрессионном анализе (МРА). Как и в случае однофакторных зависимостей, для определения функции регрессии используется МНК. Однако при этом решение системы уравнений, дающее значения А0 и АI Существенно затруднено их большим количеством - число уравнений в системе равно числу опытов эксперимента, а оно не может быть меньшим, чем D+1. Поэтому МРА осуществляется при помощи компьютеров, которые решают системы нормальных линейных уравнений одним из численных методов (например, методом Гаусса-Жордана).

Для ввода массива данных в компьютер он записывается в виде матрицы:

№ опыта

Х1

Х2

Х3

ХN

1

2

3

N

Расчет дает величины свободного члена и коэффициентов регрессии, а также величины их эмпирических дисперсий. Хорошие программы МРА дают сразу и значения t-критериев для каждого параметра. В результате получается регрессионная модель вида (если нет надобности в линеаризации)

Коэффициенты АI называются частными коэффициентами регрессии, т. к. характеризуют степень влияния каждого фактора на отклик У в отдельности (в идеале, когда нет корреляции между факторами).

Коэффициенты регрессии являются размерными величинами и их размерность связана с размерностью факторов. Поэтому их величина зависит не только от степени влияния данного фактора на отклик, но и от размерности фактора. Чтобы можно было сравнивать степень влияния каждого фактора, коэффициенты регрессии нормируют

(15.6)

Где - среднее квадратичное отклонение i-го коэффициента регрессии;

- среднее квадратичное отклонение отклика.

В результате нормирования уравнение регрессии принимает вид

Т. е. свободный член исчезает.

После проведения МРА обязательно необходимо выполнить отсеивание незначащих факторов по t-критериям каждого коэффициента регрессии, начиная с самого "слабого" фактора. После отсеивания каждого фактора МРА повторяется, т. к. оценки коэффициентов регрессии в результате отсеивания изменяются.

Похожие статьи




Нелинейный регрессионный анализ, Множественный регрессионный анализ - Основы научных исследований

Предыдущая | Следующая