Простейшие дроби и их интегрирование. - Методы решения системы линейных уравнений

Рациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) - многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень P(x) ниже степени Q(x), в противном случае дробь называется неправильной.

Простейшими дробями I, II, III, и IV типов называются правильные рациональные дроби следующего видов:

I. A/(x-a).

II. A/(x-a)M, где m целое число, большее единицы.

III. ((Ax+B)/(x2+px+q)), где (p2/4)-q<0, т. е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

IV. ((Ax+B)/(x2+px+q)N), где n целое число, большее единицы и квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней.

Как производить интегрирование.

I и II Интегрирование простейших дробей I и II типов производится непосредственно:

    ?(A/(x-a))dx = Aln|x-a|+C ?(A/(x-a)M)dx = (A/(1-m))*(1/(x-a)M-1)+C

III Для нахождения интеграла ?((Ax+B)/(x2+px+q))dx следует выделить в числители дроби производную знаменателя и разложить полученный интеграл на сумму двух интегралов: первый из них подстановкой ax2+bx+c = t сводится к виду ?dt/t = ln|t|, а второй интеграл выделением полного квадрата сводится к табличному интегралу вида ?dt/(t2+k2) или ?dt/(t2-k2)

IV Для интегрирования данной простейшей дроби в числители дроби нужно записать производную квадратного трехчлена и разложить полученный интеграл на сумму двух интегралов. Первый из них подстановкой x2+px+q = t приведется к виду ?dt/tN=1/((1-n)tN-1), а второй имеет вид ?dx/((x2+px+q)N). С помощью подстановки x+p/2 = u он преобразуется в интеграл вида IN = ?du/(u2+a2)N, который интегрированием по частям можно свести к более простому интегралу.

Похожие статьи




Простейшие дроби и их интегрирование. - Методы решения системы линейных уравнений

Предыдущая | Следующая