Практическое применение метода нелинейного программирования при решении конкретной задачи - Реферативно-прикладное исследование применения экономико-математических методов в решении задач производства (метод нелинейного программирования)

В начале пятилетнего периода работы предприятию выделена сумма в C руб. для приобретения нового оборудования. Стоимость одного комплекта оборудования составляет 10 тыс. руб. Приобретенное оборудование сразу же вступает в строй и может участвовать в производственном процессе. Использование одного комплекта оборудования обеспечивает предприятию за один год прибыль в размере 4 тыс. руб. В конце каждого года предприятие может выделить некоторую долю б (0 ?б ?1) прибыли на расширение производственных мощностей, т. е. на приобретение дополнительно некоторого количества комплектов оборудования, которое будет использоваться в последующие годы. Требуется так планировать расширение производства, чтобы прибыль за пятилетие была максимальной.

Рассматриваемый здесь процесс носит ясно выраженный многошаговый характер. Решением на каждом шаге (в каждом году) является выбранное наилучшим образом значение параметра б - доли прибыли, отчисляемой на приобретение дополнительного оборудования. Пусть бI (i=1, ..., 5) - доля отчисления в i-м году; mI - количество комплектов оборудования, используемых в производстве i-м году; цI - фактическая прибыль предприятия в i-м году.

Производственный процесс будет формально описан, если к началу каждого года будет указано количество комплектов действующего оборудования и суммарная прибыль, накопленная к этому моменту.

В первый год в производстве будет занято

M1=c/10000 (3.1)

Комплектов оборудования. Если бы отчислений от прибыли не предполагалось, то она составила бы 4000m1 руб. Но по условию задачи некоторая доля прибыли б1, т. е. б1 (4000 m1) руб., должна быть направлена на расширение производства, поэтому фактическая прибыль за первый год составит

Ц1=4000m1(1-б1), (3.2)

Где 0 ? б1 ?1. На отчисленные средства будет приобретено б1 (4000m1)/10000=0,4б1M1 комплектов оборудования. Во второй год в производстве будет занято

M2=m1+0,4б1M1= m1(1+0,4б1) (3.3)

Комплектов, а фактическая прибыль в этом году составит

Ц2=4000m2-б2(4000m2)=4000(1-б2)m2, (3.4)

0 ? б2 ?1,

Где б2(4000m2) - часть прибыли, отчисляемая на расширение производства. Аналогично получаем

Для третьего года

M3=(1+0,4б2)m2, (3.5)

Ц3=4000(1- б3)m3; 0 ? б3 ?1; (3.6)

Для четвертого года

M4=(1+0,4б3)m3, (3.7)

Ц4=4000(1- б4)m4; 0 ? б4 ?1; (3.8)

Для пятого года

M5=(1+0,4б4)m4, (3.9)

Ц5=4000(1- б5)m5; 0 ? б5 ?1. (3.10)

Суммарную фактическую прибыль предприятия за пятилетку обозначим через f (б1; б2; б3; б4; б5). Наша цель найти такие б1*; б2*; б3*; б4*; б5*, при которых f достигает наибольшего значения.

В соответствии с процедурой метода динамического программирования, основанной на принципе оптимальности, можно, двигаясь от последнего года к предшествующим, построить последовательно оптимальную стратегию отчислений. Для этого обозначим через f (1), f (1-2), f (1-3), f (1-4) суммарную прибыль соответственно за 1-й год; за 1-й и 2-й годы; за 1, 2 и 3-й годы; за 1, 2, 3 и 4-й годы.

Пусть к началу пятого года состояние производственного процесса характеризуется величинами m5 и f (1-4). Тогда прибыль f за пятилетие можно выразить так: f=f(1-4)+ц5, а с учетом (3.10) f=f(1-4)+4000(1-б5)m5=: f=f(1-4)+4000m5 - 4000б5M5. (3.11)

Из (3.11) видно, что f достигает максимума при б5=0. Это и есть оптимальное решение (условное) на последнем шаге рассматриваемого пятишагового процесса. Итак, б5*=0. При этом условии из (3.11) получаем

F = f (1-4)+4000m5. (3.12)

Оптимизируем теперь предпоследний шаг, т. е. переходим к началу четвертого года, когда состояние производственного процесса характеризуется величинами m4 и f (1-3). Прибыль за четыре первых года равна

F (1-4)= f(1-3)+ц4. (3.13)

Принимая во внимание условное оптимальное решение б5*=0, принятое для пятого года, используем равенство (3.12), которое с учетом равенств (3.13), (3.9) и (3.8) преобразуем следующим образом:

F=f(1-3)+8000m4-2400б4M4. (3.14)

Для выбора оптимального решения на данном шаге воспользуемся принципом оптимальности: выбор б4 будем производить на основе равенства (3.14), в котором нашло отражение условное оптимальное решение, выбранное ранее для последнего шага. Из (3.14) видно, что чем больше значение б4, тем меньше величина целевой функции f. Следовательно, для достижения максимума f надо взять наименьшее допустимое значение б4. Таковым является б4*=0. Это и есть условное оптимальное решение, обеспечивающее оптимальное завершение процесса планирования. При б4*=0 целевая функция f, описывающая суммарную прибыль, равна

F=f(1-3)+8000m4. (3.15)

Теперь перейдем к началу третьего года, характеризующегося величинами m3 и f(1-2). Учитывая очевидное равенство f(1-3)=f(1-2)+ц3 и используя равенства (3.15), а затем (3.6) и (3.7), исходя из ранее принятых условных оптимальных решений, получаем

F=f(1-2)+12000m3-800б3M3. (3.16)

Пользуясь принципом оптимальности, определяем условное оптимальное решение для третьего года. Анализируя с этой целью (3.16), убеждаемся, что наибольшее значение f достигается при б3*=0. Тогда из (3.16) имеем

F=f(1-2)+12000m3. (3.17)

Продолжая продвигаться к началу процесса, замечаем, что в начале второго года производственный процесс характеризуется величинами m2 и f(1). По аналогии с предыдущим можно записать: f(1-2)= f(1)+ ц2. Используя (3.17), только что полученное равенство, (3.5) и (3.4), находим

F=f(1)+16000m2+800б2M2. (3.18)

Из равенства (3.18) видно, что условно-оптимальным на втором году будет решение б2*=1, так как при нем f достигает максимума. Тогда из (3.18) получаем

F=f(1)+16800m2. (3.19)

Остается проанализировать пятый от конца шаг, т. е. первый год планового периода. Из (3.2) ясно, что

F(1)=ц1=4000(1-б1)m1. (3.20)

Чтобы обеспечить оптимальное продолжение процесса, необходимо, основываясь на принципе оптимальности, использовать результаты предшествующей оптимизации, выраженные равенством (3.19). Учитывая (3.20) и (3.3), получаем

F=20800m1+2720б1M1. (3.21

Из (3.21) видно, что условно-оптимальным решением на первом году будет б1*=1, так как при этом f достигает максимума:

F*=23520m1. (3.22)

Таким образом, найдены условно-оптимальные решения на всех пяти шагах (годах), определены выражения для соответствующих им максимальных прибылей (3.12), (3.15), (3.17) и (3.22). Остается проследить развитие процесса в прямом направлении и прочитать оптимальную стратегию: б1*=б2*=1; б3*=б4*=б5*=0. Из (3.22) и (3.1) получаем f*=2,352c.

Похожие статьи




Практическое применение метода нелинейного программирования при решении конкретной задачи - Реферативно-прикладное исследование применения экономико-математических методов в решении задач производства (метод нелинейного программирования)

Предыдущая | Следующая