Примеры экономических задач, приводящихся к задачам ЛП - Решение оптимизационных экономических задач методами линейного программирования

Несмотря на требование линейности функций критериев и ограничений, в рамки линейного программирования попадают многочисленные задачи распределения ресурсов, управления запасами, сетевого и календарного планирования, транспортные задачи и прочие.

Рассмотрим некоторые из них.

Определение оптимального ассортимента. Имеются m видов ресурсов в количествах b1, b2,., bI, bM и n видов изделий. Задана матрица A=||aIj||, i=1,.,m, j=1,.,n, где aIj характеризует нормы расхода i-го ресурса на единицу j-го вида изделий. Эффективность производства j-го вида изделий характеризуется показателем CJ, удовлетворяющим условию линейности. Нужно определить такой план выпуска изделий (оптимальный ассортимент), при котором суммарный показатель эффективности будет наибольший.

Обозначим количество единиц k-го вида изделий, выпускаемых предприятием, через xK, . Тогда математическая модель этой задачи будет иметь такой вид:

(3.1)

При ограничениях

(3.2)

Кроме ограничений на ресурсы (3.2) в эту модель можно ввести дополнительные ограничения на планируемый уровень выпуска продукции, xI: xJ: xK = bI: bJ: bK для всех i, j, k и т. д.

Оптимальное распределение взаимозаменяемых ресурсов. Имеются m видов взаимозаменяемых ресурсов а1, а2,., аM, используемых при выполнении n различных работ (задач). Объемы работ, которые должны быть выполнены, составляют b1, b2,., bI, bN единиц. Заданы числа, указывающие, сколько единиц j-й работы можно получить из единицы і-го ресурса, а также CIj - затраты на производство j-й работы из единицы i-го ресурса.

Требуется распределить ресурсы по работам таким образом, чтобы суммарная эффективность выполненных работ была максимальной (или суммарные затраты - минимальными).

Данная задача называется общей распределительной задачей. Количество единиц i-го ресурса, которое выделено на выполнение работ j-го вида, обозначим через xIj.

Математическая модель рассматриваемой задачи такова:

(3.3)

При ограничениях

(3.4)

(3.5)

Ограничение (3.4) означает, что план всех работ должен быть выполнен полностью, а (3.5) означает, что ресурсы должны быть израсходованы целиком.

Примером этой задачи может быть задача о распределении самолетов по авиалиниям.

Задача о смесях. Имеется р компонентов, при сочетании которых в разных пропорциях получают разные смеси. Каждый компонент, а следовательно и смесь, содержит q веществ. Количество k-го вещества k = 1, 2,., q, входящее в состав единицы і-го компонента и в состав единицы смеси, обозначим через аIk и аK соответственно.

Предположим, что аK зависит от аIk линейно, то есть если смесь состоит из x1 единиц первого компонента, x2 - единицу второго компонента и т. д., то

Задано р величин CI, характеризующих стоимость, массу или калорийность единицы i-го компонента, и q величин bK, указывающих минимально необходимое процентное содержание k-го вещества в смеси. Обозначим через x1, x2,.,xР значение компонента р-го вида, входящего в состав смеси.

Математическая модель этой задачи имеет такой вид:

(3.6)

При ограничении

(3.7)

Ограничение (3.7) означает, что процентное содержание k-го вещества в единице смеси должно быть не меньше bK.

К этой же модели принадлежит также задача определения оптимального рациона кормления скота.

Похожие статьи




Примеры экономических задач, приводящихся к задачам ЛП - Решение оптимизационных экономических задач методами линейного программирования

Предыдущая | Следующая