Линейное программирование в экономике - Экономико-математические методы

Задача о наилучшем использовании ресурсов. Пусть некоторая производственная единица (цех, завод, фирма и т. д.), исходя из конъюнктуры рынка, технических или технологических возможностей и имеющихся ресурсов, может выпускать n различных видов продукции (товаров) Пj, Предприятие при производстве этих видов продукции должно ограничиваться имеющимися видами ресурсов, технологий, других производственных факторов (сырья, полуфабрикатов, рабочей силы, оборудования, электроэнергии и т. д.). Все эти виды ограничивающих факторов называют ингредиентами Ri, Они ограничены, и их количества равны соответственно b1,b2,...,bm условных единиц. Известна экономическая выгода (мера полезности) производства продукции каждого вида, исчисляемая, скажем, по отпускной цене товара, его прибыльности, издержкам производства, степени удовлетворения потребностей и т. д. Примем в качестве такой меры, например, цену реализации cj, j=. Известны также технологические коэффициенты aij, , которые указывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства единицы продукции j-го вида. Обозначим через план производства, показывающий, какие виды товаров П1, П2, ..., Пn нужно производить и в каких количествах, чтобы обеспечить предприятию максимум объема реализации при имеющихся ресурсах.

Математическая модель задачи имеет следующий вид:

(2.4)

Так как переменные xj входят в целевую функцию Z() и систему ограничений только в первой степени, а показатели aij, bi, cj являются постоянными в планируемый период, то (2.4) - задача линейного программирования.

Задача о смесях. В различных отраслях народного хозяйства возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определенными свойствами. К этой группе задач относятся задачи формировании минимальной потребительской продовольственной корзины, составлении кормового рациона в животноводстве, шихт в металлургии, горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей промышленности, смесей для получения бетона в строительстве и т. д. Высокий уровень затрат на исходные сырьевые материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигает на первый план следующую задачу: получить продукцию с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы.

Модель задачи о наилучшем составе смеси рассмотрим на примере задачи формирования минимальной потребительской продовольственной корзины. Задан ассортимент продуктов, имеющихся в продаже. Каждый продукт содержит определенное количество питательных веществ, обозначаемые номерами 1,2,..., m (углеводы, белки, жиры, витамины, микроэлементы и др.). Единица j-го продукта содержит aij единиц i-го питательного вещества. Для нормальной жизнедеятельности в заданный промежуток времени нужно потреблять не менее bi единиц i-го питательного вещества. Обозначим через cj стоимость единицы продукта j-го вида. Необходимо определить требуемую потребительскую продовольственную корзину, имеющую минимальную стоимость.

Решение задачи - это количества xj продуктов каждого вида, обеспечивающие необходимое количество питательных веществ при минимальных затратах на исходные продукты.

Математическая модель задачи имеет следующий вид:

(2.5)

Задача о раскрое материалов. Сущность задачи об оптимальном раскрое состоит в разработке таких технологически допустимых планов раскроя, при которых получается необходимый комплект заготовок, а отходы ( по длине, площади, объему, массе или стоимости) сводятся к минимуму.

На раскрой (распил, обработку) поступает материал нескольких видов в определенном количестве. Из этого материала необходимо изготовить различные изделия. Материал может быть раскроен разными способами. Каждый способ имеет свою себестоимость и позволяет получить разное количество изделий каждого вида. Определить способ раскроя, при котором суммарная себестоимость минимальна.

Пусть n - число различных видов материала, поступающего на раскрой; dj - количество материала j-го вида, m - число различных видов изделий, которые надо изготовить; bi - число изделий i-го вида, ; l - число различных способов раскроя; aijk - число изделий i-го вида, которое можно получить из единицы материала j-го вида при k-м способе раскроя, ; cjk - себестоимость раскроя единицы материала j-го вида k-м способом, .

Обозначим через xjk - количество единиц материала j-го вида, раскраиваемых k-м способом, .

Математическая модель задачи имеет следующий вид:

.

Вместо критерия минимизации себестоимости в задаче может быть взят, например, критерий минимизации отходов. В этом случае в условии должно быть задано количество отходов, получаемых при каждом способе раскроя для единицы материала каждого вида.

Похожие статьи




Линейное программирование в экономике - Экономико-математические методы

Предыдущая | Следующая