Моделирование свободного падения тела - Компьютерное моделирование физических процессов и явлений, как метод научного познания

Примем, что тело массой m падает с высоты h с начальной скоростью V0.

На тело действует сила тяжести F=mg, направленная вниз и сила сопротивления среды Fc= k1v+k2v2. Падение тела описывается 2 законом Ньютона:

Ma=mg-Fc (1)

В одномерной системе координат с осью х, направленной вниз, и с началом в точке начального падения тела.

Сила сопротивления среды Fc= k1v+k2v2 зависит от скорости тела и его сечения, k1 - коэффициент Стокса, зависит от вязкости среды, большая величина; k2 - коэффициент лобового сопротивления, зависит от площади сечения тела, маленькая величина.

Если скорость не очень большая, то доминирует линейная составляющая, квадратичной же составляющей можно пренебречь, при более высоких скоростях напротив, резко возрастает квадратичная составляющая, а линейной составляющей можно пренебречь.

Что подразумевается под моделированием движения какого-либо тела? Это означает, что в каждый момент времени ti мы должны знать положение тела в пространстве или пройденный им путь x=x(t), его скорость v=v(t) и ускорение a=a(t), которые будут являться функциями от времени.

В начальный момент времени

T0=0, x0=0, v0=0, a0=g

Для построения расчетной модели предположим, что в течение малого промежутка времени Дt=ф движение равноускоренно, тогда можно использовать известные законы прямолинейного равноускоренного движения.

X=x0+v0ф +aф2/2 (2)

V=v0+aф (3)

A=const (4)

Таблица 1.

Расчет модели свободного падения тела

Теперь можно построить такой вычислительный процесс:

T0=0,

X0=0,

V0=0,

A0=g

T1=t0+ф,

X1=x0+v0+a0ф2/2

V1=v0+a0ф

A1=(mg-k1v1-k2v12)/2

И т. д., далее пошли итерации, в i момент времени

Ti=t0+iф,

Xi=xi-1+vi-1+ai-1ф2/2

Vi=vi-1+ai-1ф

Ai=(mg-k1vi-k2vi2)/2

Процесс закончен, когда xi=h

Осталось определить задачи исследования и соответственно определить параметры модели для этих целей.

Задача о безопасности парашютиста.

Пусть парашютист прыгает с высоты h м. Определить необходимый радиус парашюта, другими словами, нам нужно подобрать коэффициент сопротивления k2, при котором имеем безопасное приземление. Кстати, оценить скорость безопасного приземления можно из следующих соображений. С какой высоты прыжок человека на землю безопасен? С первого этажа даже ребенку не страшно, а со второго надо постараться удачно приземлиться. Значит, можно взять среднюю высоту между первым и вторым этажом, скажем, 3 метра. Тогда при свободном падении тела за время t=v2h/g=0.8 сек величина скорости приземленияVp=g*t=10*0.8=8 (м/сек.) Другими словами, скорость безопасного приземления - 8-10 м/с.

Таким образом, параметрами модели будут являться:

Статические параметры модели:

H - высота, с которой падает тело;

Vн - начальная скорость падения, в частности, Vн=0;

M - масса тела;

G - ускорение свободного падения;

Динамические параметры для моделирования:

Ф - шаг по времени,

K - коэффициент сопротивления.

Быстрее всего протекает процесс без сопротивления (нижняя оценка), и наоборот, самый медленный процесс, когда ускорение равно нулю, т. е. движение установившееся и происходит с постоянной скоростью, например Vp.

В качестве теста зададим k=0, тогда расчеты должны совпадать с формулами закона равноускоренного движения при a=g.

Если k=mg, то практически мгновенно движение устанавливается (а=0) и тело либо зависает (V=0), либо медленно опускается с постоянной скоростью.

Подобное проверочное тестирование в случае удачи дает основания к уверенной работе с моделью. Теперь можно проводить эксперименты с моделью. Попытаемся подобрать k таким образом, чтобы скорость установления была близка к значению 10 м/с.

Похожие статьи




Моделирование свободного падения тела - Компьютерное моделирование физических процессов и явлений, как метод научного познания

Предыдущая | Следующая