Динамическое программирование - Математическое моделирование экономических процессов

В задачах линейного и нелинейного программирования экономический процесс считался статическим, т. е. не зависящим от времени, поэтому оптимальное решение находилось только на один этап планирования. Такие задачи получили название одноэтапных или одношаговых.

В задачах динамического программирования экономический процесс зависит от времени [от нескольких периодов (этапов) времени], поэтому находится ряд оптимальных решений (последовательно для каждого этапа), обеспечивающих оптимальное развитие всего процесса в целом. Задачи динамического программирования называются многоэтапными или многошаговыми.

Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий осуществлять оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов и процессов, зависящих от времени. Экономический процесс называется управляемым, если можно влиять на ход его развития. Управлениям называется совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход процесса. В экономических процессах управление заключается в распределении и перераспределении средств на каждом этапе.

Например, выпуск продукции любым предприятием - управляемый процесс, так как он определяется изменением состава оборудования, объемом поставок сырья, величиной финансирования и т. д. Совокупность решений, принимаемых в начале каждого года планируемого периода по обеспечению предприятия сырьем, замене оборудования, размерам финансирований и т. д., является управлением. Казалось бы, для получения максимального объема выпускаемой продукции проще всего вложить максимально возможное количество средств, и использовать на полную мощность оборудование.

Но это привело бы к быстрому изнашиванию оборудования и, как следствие, к уменьшению выпуска продукции. Следовательно, выпуск продукции надо спланировать так, чтобы избежать, нежелательных эффектов. Необходимо предусмотреть мероприятия, обеспечивающие пополнение оборудования по мере изнашивания, т. е. по периодам времени.

Последнее хотя и приводит к уменьшению первоначального объема выпускаемой продукции, но обеспечивает в дальнейшем возможность расширения производства. Таким образом, экономический процесс выпуска продукции можно считать состоящим из нескольких этапов (шагов), на каждом из которых осуществляется влияние на его развитие. Началом этапа управляемого процесса считается момент принятия решения (о величине капитальных вложений, о замене оборудования определенного вида и т. д.). Под этапом обычно понимают хозяйственный год. Планируя многоэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т. е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель.

Динамическое программирование, используя поэтапное планирование, позволяет не только упростить решение задач, но и решить те из них, к которым нельзя применить методы математического анализа. Упрощение решения достигается за счет значительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того, чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планирования предполагает многократное решение относительно простых задач.

Однако динамическое программирование имеет и свои недостатка. В отличие от линейного программирования, в котором симплексный метод является универсальным, в динамическом программировании такого метода не существует. Каждая задача имеет свои трудности, и в каждом случае необходимо найти наиболее подходящую методику решения. Недостаток динамического программирования заключается также в трудоемкости решения многомерных задач.

Пример. Пусть планируется деятельность некоторой системы S промышленных предприятий P1, P2, ..., Pn на некоторый период времени T, состоящий из k хозяйственных лет t1 (i = 1, 2, ..., k), причем

K

T = ? ti

I = 1

В начале периода T на развитие предприятий выделены основные средства D. В начале каждого хозяйственного года производится финансирование всей системы предприятий, т. е. выделяется доля основных средств. Известны первоначальное состояние системы S0, характеризуемое количеством средств, уже вложенных в предприятия, и конечное состояние SK, характеризуемое всей дополнительно вложенной суммой D. Как следует распределить по предприятиям и годам основные средства D, чтобы к концу периода T суммарный доход W от всей системы предприятий был максимальным?

Решение. Обозначим через xIj сумму, выделяемую в начале i-ого года j-ому предприятию (i=1, 2, ..., k; j=1, 2, ..., n). Предположим, что средства на i-ом этапе распределены, т. е. выбрано определенное управление UI, которое состоит в том, что в начале i-ого года предприятию P1 выделены средства xI1, предприятию P2 - средства xI2 и т. д. Тогда вектор UI = (xI1, xI2, ..., xIn) определяет распределение средств на i-ом этапе. Совокупность выделенных средств на k шагах выразится системой векторов n-мерного векторного пространства

U1= (x11; x12; ...; x1n),2= (x21; x22; ...; x2n),

UK= (xK1; xK2; ...; xKn).

Суммарный доход за k лет зависит от совокупности управлений, т. е. является функцией от U1, U2, ..., UK:

W (U1, U2, ..., UK).

Задача состоит в следующем: на каждом этапе необходимо выбрать такое управление, чтобы суммарный доход от всей системы предприятия был максимальным. Сформулированную задачу, на первый взгляд, можно решить непосредственно, объединив все этапы. Действительно, W можно рассматривать как функцию от элементов управлений на каждом этапе:

W = (x11; x12; ...; x1n; x21; x22; ...; x2n; xK1; xK2; ...; xKn),

Т. е. как функцию многих переменных. Теперь решение задачи заключается в нахождении такой совокупности значений аргументов xIj, при которой функция W достигает максимального значения. Казалось бы, найдя частные производные функции по всем аргументам, приравняв их к нулю и решив систему уравнений = 0, получим значение xIj, при которых функция W имеет локальный максимум.

Однако этот метод имеет существенные недостатки: во-первых, при большом количестве этапов решение полученной системы довольно громоздко; во-вторых, с его помощью можно найти критические точки только внутри области, так как метод не позволяет исследовать граничные точки; в-третьих, метод вообще неприменим, если xIj - дискретные величины.

Похожие статьи




Динамическое программирование - Математическое моделирование экономических процессов

Предыдущая | Следующая