Представление числовых данных в коде BCD - Компьютерная арифметика
Наиболее широкое применение в компьютерной технике получили двоично-десятичные системы счисления, в которых десятичные цифры записываются как четырехразрядные двоичные числа - двоичные тетрады.
Такое представление десятичных цифр называют также безизбыточным, поскольку для него необходимо минимальное количество двоичных разрядов.
Ограниченное применение находят и избыточные представления десятичных цифр с помощью пяти, шести и семи двоичных разрядов. В принципе, можно построить компьютерную систему, работающую при любом двоично-десятичном кодировании. Наличие разрешенных и запрещенных комбинаций является важным свойством BCD - кодов. В этом их отличие от обычных позиционных систем счисления.
Однако эмпирическим путем установлено, что для создания десятичных вычислительных средств наиболее целесообразно использовать двоично-десятичные коды (BCD или ДДК), обладающие свойствами взвешенности, упорядоченности, четности, дополнительности и единственности (так называемыми свойствами Рутисхаузера).
ДДК называется взвешенным, если каждому из (h) разрядов двоичного представления (aHAH-1...a1) десятичной цифры (А) поставлены в соответствие веса - ( H, H-1,...,1 ) причем:
A=aHh+aH-1h-1+...+a11. (6.1)
Где: А - десятичная цифра;
- (aHAH-1...a1) - ) разряды двоичного представления; ( H, H-1,...,1 ) - веса.
Свойство взвешенности упрощает выполнение логических и арифметических операций. ДДК, получаемые друг из друга простой перестановкой весов (I), образуют кодовую группу. Для обозначения конкретных ДДК и кодовых групп часто используют последовательность их весов, записанную в порядке их убывания, например, "8,4,2,1", "4,4,2,1" и т. п.
Упорядоченность ДДК состоит в выполнении одного из условий:
- 0(2)(2)(2)<...(2). (6.2) 0(2)>1(2)>2(2)>...>9(2). (6.3)
Для двоичных представлений ( 0(2),1(2),2(2),...,9(2) ) десятичных цифр. Наличие упорядоченности ДДК необходимо для реализации логических операций.
Свойство четности должно проявляться в том, чтобы всем четным десятичным цифрам соответствовали либо только четные, либо только нечетные их двоичные представления. Аналогично, всем нечетным десятичным цифрам должны соответствовать либо только нечетные, либо только четные их двоичные представления. Это свойство необходимо для реализации операций умножения, деления, округления.
Сущность свойства дополнительности ("самодополняемость") ДДК заключается в следующем. Если сумма двух десятичных цифр равна (9), то переход от двоичного представления одной цифры к двоичному представлению другой цифры должен осуществляться путем инверсии двоичных разрядов.
Наличие этого свойства необходимо для упрощения алгебраических операций (операций с учетом знаков операндов) по правилам десятичной арифметики.
ДДК обладает свойством единственности, если между десятичной цифрой и комбинацией двоичных цифр установлено взаимно однозначное соответствие. Это свойство упрощает и облегчает как процедуру представления в ДДК десятичных чисел (то есть, кодирование), так и процедуру распознавания десятичных чисел в ДДК (то есть, декодирование).
Особенностью взвешенных ДДК, имеющих только положительные веса, кроме ДДК группы "8,4,2,1", является отсутствие однозначного представления десятичных цифр. Это означает, что некоторые десятичные цифры могут быть записаны несколькими комбинациями двоичных цифр. Например, в ДДК "4,4,2,1" цифру 4 можно представить как 1000 и как 0100, цифру 5 - как 1001 и как 0101, цифру 6 - как 1010 и как 0110, цифру 7 - как 1011 и как 0111. Причиной этого служит неоднозначность решения уравнения (6.1) относительно переменных aI (i=l, h).
Однозначность представления десятичных цифр, состоящая в том, что каждой такой цифре соответствует только одна из 16 двоичных тетрад, обеспечивается в ДДК группы "8,4,2,1".
Кроме того, однозначность представления десятичных цифр может быть обеспечена в ДДК с отрицательными весами. В табл. 6.1 приведены все кодовые группы однозначных ДДК. Следует отметить, что однозначность не входит в перечень свойств тех ДДК, которые наиболее целесообразно использовать для построения десятичных компьютерных систем.
Таблица 6.1 - Кодовые группы однозначных ДДК
"8,4,2,1" |
"8,-4,2,1" |
"8,-6,4,1" |
"8,-4,3,2" |
"8,-5,4,2" |
"8,4,2,-1" |
"8,4,3,-2" |
"8,-6,5,3" |
"7,-6,5,3" |
"8,-4,-2,1" |
"8,4,-2,1" |
"8,6,-4,1" |
"8,4,-3,2" |
"8,-4,2,-1" |
"8,5,-4,2" |
"8,-4,3,-2" |
"7,6,-5,3" |
"8,4,-3,-2" |
"8,5,-4,-2" |
"8,6,-4,-1" |
"8,7,-4,-2" |
В этом перечне ему соответствует более слабое свойство единственности. Это свойство для неоднозначных ДДК может быть обеспечено выбором одной и исключением из ДДК избыточных (хотя, в принципе, правильных) двоичных представлений десятичных цифр. В этом отношении свойство единственности ДДК не эквивалентно свойству однозначности систем счисления, так как единственность ДДК можно обеспечить искусственно, а однозначность должна быть присуща счислению "органически".
Существует 86 кодовых групп безизбыточных ДДК, обладающих свойствами взвешенности и единственности. Среди них есть ДДК, отрицательными весами, например, "8,4,2,1", "8,4,2,-1", "6,3,-1,-1". Свойством дополнительности обладают все взвешенные ДДК с положительными весами, у которых сумма весов равна (9). Существуют четыре кодовых группы взвешенных ДДК, обладающих также и свойствами единственности и дополнительности, с именно: "5,2,1,1", "4,3,1,1", "4,2,2,1", "3,3,2,1". Среди взвешенных ДДК с отрицательными весами свойствами единственности и дополнительности обладают ДДК из 19 кодовых групп, перечисленных в табл. 6.2.
Таблица 6.2 - Кодовые группы ДДК с отрицательными весами, обладающие свойствами единственности, дополнительности и взвешенности
"6,3,1,-1" |
"7,3,1,-2" |
"6,4,1,-2" |
"6,5,1,-3" |
"7,5,1,-4" |
"6,2,2,-1" |
"5,3,2,-1" |
"6,3,2,-2" |
"8,3,2,-4" |
"4,4,2,-1" |
"6,4,2,-3" |
"8,4,2,-5" |
"6,5,2,-4" |
"4,4,3,-2" |
"5,4,3,-3" |
"8,4,3,-6" |
"7,5,3,-6" |
"8,4,-2,-1" |
"8,6,-1,-4" |
Упорядоченность присуща лишь ДДК, не имеющим отрицательных весов. Одновременно свойствами единственности, упорядоченности, дополнительности и взвешенности обладают ДДК кодовых групп "5,2,1,1", "4,3,1,1", "3,3,2,1","4,2,2,1". Всеми пятью свойствами обладают ДДК кодовой группы "4,2,2,1", называемые также кодами Эмери ("2,4,2,1" - код Айкена).
Недостатком ДДК этой кодовой группы является искусственный порядок весов, что затрудняет выполнение арифметических операций.
Наиболее распространенным в компьютерных системах является ДДК "8,4,2,1", который называется также кодом прямого замещения. Этот ДДК получают путем записи десятичных цифр в двоичной позиционной однородной системе счисления с естественным порядком весов. Он обладает всеми перечисленными выше свойствами ДДК, кроме свойства дополнительности. Этим обусловлен ряд неудобств при реализации операций алгебраического сложения в таком ДДК из-за трудностей формирования переносов из младшей тетрады в старшую.
Достоинством ДДК "8,4,2,1" следует считать простоту и удобство перевода чисел из десятичной системы счисления в двоично-десятичную и обратный перевод.
В каждом конкретном случае применение какого-либо ДДК обуславливается определенными его преимуществами по сравнению с другими типами ДДК. Например, код "7,4,2,1" применяется в электромеханических цифровых устройствах, где двоичной единице соответствует замкнутое состояние некоторой контактной пары и энергопотребляющее состояние соответствующей электрической цепи, а двоичному нулю - разомкнутое состояние контактной пары и не потребляющее энергии состояние электрической цепи. В этом случае каждое двоичное представление десятичной цифры содержит не более двух единиц, что обеспечивает минимальное и постоянное потребление энергии от источника питания. В ДДК "5,4,2,1", десятичные цифры можно рассматривать как двоично-пятеричные с кодированным представлением цифр. Три младших разряда в каждой тетраде изображают одну пятеричную цифру, с старшая цифра тетрады соответствует двоичному разряду. Этот ДДК имеет ряд достоинств при выполнении арифметических операций и переводе чисел из одной системы счисления в другую.
Для представления десятичных цифр могут быть использованы и невзвешенные ДДК. Например, код "с избытком 3" обладает свойством дополнительности и его удобно использовать для выполнения операции алгебраического сложения. Для записи десятичной цифры в ДДК "с избытком 3" необходимо двоичную тетраду этой цифры в ДДК "8,4,2,1" сложить с двоичным представлением числа (3).
ДДК "8,4,2,1" и коды с избытком (полученные из кода "8,4,2,1" по аналогии с кодом "с избытком 3") обладают еще одним важным свойством, не входящим в перечень Рутисхаузера, а именно: свойством аддитивности. Это свойство состоит в том, что ДДК суммы двух десятичных цифр равен двоичной сумме ДДК этих цифр или отличается от нее на некоторую константу. Это свойство позволяет свести операции десятичной арифметики в таких ДДК к выполнению операций по правилам двоичной арифметики.
Примерами избыточных ДДК, где каждая десятичная цифра кодируется пятью двоичными разрядами, являются ДДК "3А+2" и "2 из 5". Первый из этих ДДК обладает свойством дополнительности, а двоичные представления десятичных цифр получают в нем путем записи в двоичной системе с естественным порядком весов числа ЗА+2, где А - заданная десятичная цифра.
В ДДК "2 из 5" каждая десятичная цифра изображается пятью двоичными разрядами, из которых только два содержат единицы. Можно считать, что ДДК "2 из 5" получается из ДДК "7,4,2,1" путем добавления справа дополнительного разряда с весом, равным нулю. В этот разряд записывают такую цифру, чтобы общее число единиц было равно двум (за исключением десятичного нуля). ДДК "3А+2" и "2 из 5" используют обычно для передачи информации, поскольку они позволяют обнаруживать одиночные ошибки, возникающие в процессе такой передачи, сравнительно простыми средствами.
Рефлексный ДДК (код Грея, соседний код) обладает тем свойством, что двум соседним десятичным цифрам в нем соответствуют кодовые комбинации, отличающиеся только в одном двоичном разряде. Это свойство эффективно используется при построении измерительных преобразователей (датчиков) величины углового или линейного перемещения в цифровой эквивалент.
ДДК - (w, x, y, z,) - обладает следующим свойством. Для десятичной цифры (А) в таком ДДК перестановка ее двоичных разрядов вида (z, w, x, y) равна младшему десятичному разряду (в двоичном представлении) произведения (А) на (3); перестановка вида (x, y, z, w) равна младшему разряду произведения (А) на (7); перестановка (y, z, w, x) равна младшему разряду произведения (А) на( 9).
Таким образом, младший разряд произведения любой заданной десятичной цифры на (3,7,9) может быть получен круговой перестановкой двоичных цифр. Очевидно, что это свойство может использоваться для частичного контроля правильности выполнения десятичного умножения.
Похожие статьи
-
Представление числовых данных в компьютерных системах - Компьютерная арифметика
Компьютерный арифметика счисление двоичный Система вещественных чисел, используемая в ручных расчетах, предполагается бесконечной и непрерывной, т. е....
-
Он позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения, чем упрощает архитектуру компьютерной системы. Дополнительный код является дополнением...
-
Системы счисления. Представление данных в ЭВМ - Основы программирования
В современном мире для записи числовой информации используют позиционные системы счисления, в которых числа записываются с помощью ограниченного...
-
Классификация систем счисления - Компьютерная арифметика
В настоящее время различают Позиционные И Непозиционные системы счисления. Классификация систем счисления приведена на рис. 2.1. Рисунок 2.1 --...
-
Особенности представления числовых данных с плавающей точкой Каждой форме представления чисел (с фиксированной или плавающей точкой) свойственны свои...
-
Арифметические операции в двоичной системе счисления Умножение в двоичной системе счисления = поразрядные сдвиги + суммирование Основные форматы хранения...
-
Базовые понятия и определения компьютерной арифметики - Компьютерная арифметика
Компьютерная арифметика - совокупность принципов и форм представления числовой информации, методов и алгоритмов выполнения арифметических операций и...
-
Машинная арифметика с плавающей точкой - Представление и хранение информациии в ЭВМ
Число с плавающей точкой: X=±Mx-S±px Здесь: M - мантисса; S - порядок. 0.314 101 0.0314 102 Машинные числа. Машинными называются числа, допускающие...
-
Вся информация, которую обрабатывает компьютер, должна быть представлена двоичным кодом с помощью двух цифр -- 0 и 1. Эти два символа принято называть...
-
Деление двоичных беззнаковых чисел в компьютерных системах - Компьютерная арифметика
Деление мантисс чисел в форме с фиксированной запятой выполняется над абсолютными величинами операндов, представленными, чаще всего, прямым кодом....
-
При сложении и вычитании знаковых двоичных чисел операция вычитания заменяется операцией сложения в дополнительном коде. Докажем, что результат...
-
Контроль переполнения в компьютерных системах - Компьютерная арифметика
Возможно только при сложении чисел с одинаковыми знаками, когда для представления результата недостаточно отведенного количество разрядов (требуется...
-
Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую - Компьютерная арифметика
Задача перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую является одной из главных в компьютерной арифметике. Ее можно сформулировать...
-
Системы счисления - Компьютерная арифметика
Как было отмечено в первой главе Система счисления - совокупность приемов и правил для установления однозначного соответствия между любым числом и его...
-
Умножение и деление чисел в форме с плавающей точкой - Компьютерная арифметика
Представим операцию умножения в виде: Z = X - Y. (5.19) Тогда: . (5.20) Где: ; . Знак произведения определяют путем суммирования по модулю 2 цифр в...
-
Особенности формата представления данных IEEE 754
IEEE 754 - стандарт разработанный ассоциацией IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) и использующийся для представления действительных...
-
Деление двоичных знаковых чисел в компьютерных системах - Компьютерная арифметика
Так как данные в памяти компьютера хранятся в ДК, операцию деления целесообразно выполнять в ДК. За основу можно принять базовый алгоритм деления (без...
-
Операция сложения и вычитания, двоичных беззнаковых чисел в компьютерных системах Компьютерная система выполняет сложение и вычитание операндов по...
-
Умножение двоичных беззнаковых чисел в компьютерных системах - Компьютерная арифметика
Пусть сомножителями X и Y являются s-битные целые числа без знака: Где - (Х) - множимое, (Y) - множитель, (Z) - произведение. Тогда: Z = X - Y. (4.2)...
-
Операции сдвига в компьютерных системах - Компьютерная арифметика
Является одной из самых распространенных в компьютерной арифметике. В частности, она используется при выполнении умножения или деления двоичных чисел....
-
Пусть требуется выполнить некоторую арифметическую операцию над операндами X и Y в форме с плавающей точкой: . (5.12) . (5.13) Результатом операции будет...
-
Форматы двоичных числовых данных с плавающей точкой - Компьютерная арифметика
Формат данных с плавающей точкой, использовавшийся в компьютерных системах первых поколений, включал четыре поля, а именно: указанные ранее поля для...
-
Создание представлений - Банки и базы данных. Системы управления базами данных
Представлением (View) называется виртуальная таблица, отображающая данные, получаемые из реальных таблиц БД, а также из других представлений....
-
Каждая СУБД имеет особенности в представлении структуры таблиц, связей, определении типов данных и т. д. которую необходимо учитывать при проектировании....
-
Стандарт IEEE-754 - Компьютерная арифметика
К настоящему времени разработаны многочисленные варианты форматов чисел с плавающей точкой и практической реализации арифметических устройств с плавающей...
-
Вещественное число может быть представлено в каком-либо формате стандарта IEEE-754 следующим образом: . (5.23) С учетом условия нормализации (),...
-
Компромиссная система, для удобства восприятия данных человеком и корректной работы компьютера, двоично-десятичная запись чисел. Принцип построения этой...
-
Выходные формы, Представления - Создание хранилища данных для информационной системы
В рамках данного проекта организация данных в виде БД преимущественно была необходима для того, чтобы из БД можно было оперативно получить статистические...
-
Примеры визуального представления данных - Визуализация количественных данных
Визуализация программный обеспечение данные В научно-технической документации применяются различные виды визуализации (ниже приведены примеры...
-
Умножение двоичных знаковых чисел в компьютерных системах - Компьютерная арифметика
При выполнении операции умножения знаковых чисел исходные сомножители могут быть представлены в ПК, ОК или ДК: . (4.35) При данном способе умножения...
-
Форматы графических данных В компьютерной графике применяют, по меньшей мере, три десятка форматов файлов для хранения изображений. Но лишь часть из них...
-
Арифметические флажки - Компьютерная арифметика
Флажки являются признаками, представляющими общую характеристику результата выполнения операции. Наиболее широко применяются следующие флажки: - Флажок...
-
Выбор информационной модели и программного средства ее представления - Проектирование информационной системы, основанной на реляционной базе данных,...
-
Для того, чтобы разработать оптимальный метод интеграции сторонних систем в существующую ИТ-инфраструктуру систем компании, требуется точно поставить...
-
ИЕРАРХИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДАННЫХ ИМД основана на понятии деревьев, состоящих из вершин и ребер. Вершине дерева ставится в соответствие совокупности атрибутов...
-
Под витриной данных (Data Mart) понимается предметно-ориентированное хранилище, как правило, агрегированной информации, предназначенное для использования...
-
Представления, Хранимые процедуры - База данных "Определение факультативов для студентов"
Представление -- это виртуальная таблица, содержимое которой определяется запросом. Как и таблица, представление состоит из ряда именованных столбцов и...
-
Представление информации в ЭВМ - Представление и хранение информациии в ЭВМ
В большинстве ЭВМ информация представляется в двоичном виде (Существуют так же двоично-десятичные и троичные ЭВМ). Это обусловлено, в основном,...
-
Отличия цифрового представления сигналов от аналогового Традиционное аналоговое представление сигналов основано на подобии (аналогичности) электрических...
-
ДД-код Константа16 ДД-код Константа16 1111 1111 FF 0000 0000 00 0011 0101 35 1111 0100 F4 0101 0111 57 1001 1010 9A 1000 1101 8D 0000 0111 07 1000 0000...
Представление числовых данных в коде BCD - Компьютерная арифметика