Машинная арифметика с плавающей точкой - Представление и хранение информациии в ЭВМ
Число с плавающей точкой:
X=±Mx-S±px
Здесь: M - мантисса; S - порядок.
0.314 101 0.0314 102
Машинные числа. Машинными называются числа, допускающие точное представление во внутреннем формате хранения числовых значений.
Форматы хранения чисел с плавающей точкой
Институт инженеров по электротехнике и электронике (Institute of Electrical and Electronics Engineers, IEEE) разработал международные стандарты, которые описывают представление чисел с плавающей запятой:
- - стандарт ANSI/IEEE 754:1985 определяет требования к реализации двоичной плавающей арифметики; - ANSI/IEEE 854:1987 обобщает прежний стандарт, допуская дополнительно, кроме двоичного, десятичное основание представлений мантиссы и экспоненты и произвольную длину машинного слова.
Позднее требования этих стандартов были отражены в стандарте IEC 60559:1989.
Стандарты, кроме форматов представления, описывают также основные арифметические действия, операции вычисления остатка от деления, квадратного корня, преобразования из двоичного представления в десятичное и наоборот.
В большинстве современных платформ, таких как Intel и большинстве RISC-систем аппаратно реализована плавающая арифметика, соответствующая стандарту IEC 60559.
Стандарты IEEE определяют следующие форматы хранения вещественных чисел:
- - с простой точностью (соответствует типам REAL*4 в языке Фортран и float в C); - с двойной точностью (соответствует типам REAL*8 в языке Фортран и double в C); - с расширенной точностью (условно говоря, соответствует типам REAL*10 и более в языке Фортран и long double в C).
Число в представлении с простой точностью занимает 32 двоичных разряда: 23 разряда занимает мантисса и 8 разрядов отведено для порядка. Старший разряд является знаковым.
Нормализованная форма чисел с плавающей точкой
Числа с плавающей точкой хранятся в нормализованном виде:
- - в нормализованной форме точка расположена перед первой значащей, то есть, отличной от нуля, цифрой мантиссы; - старший бит мантиссы всегда равен единице, он явным образом не указывается, а свободная позиция отводится под знак мантиссы. Таким образом при фиксированном количестве разрядов можно записать наибольшее количество значащих цифр и обеспечить наибольшую точность представления вещественного числа.
Мантисса нормализованного числа, если она не равна нулю, принадлежит диапазону (0.5, 1), в общем случае:
Порядок задается в формате с избытком (смещением) - истинное значение порядка увеличивается на 127, сумма всегда положительна. Фактическое значение порядка находится в промежутке от -126 до +127. Основанием является 2.
Младший бит мантиссы в формате с простой точностью представляет значение 2-24 (примерно 10-7), что соответствует 7 значащим цифрам десятичного представления.
Значащие цифры числа допускают точное представление. Следующие значения имеют одинаковое (равное четырем) число значащих цифр: 3.142, 0.003142, 3.142e3.
В формате с простой точностью не имеет смысла хранить значения, содержащие более 8 десятичных разрядов мантиссы. Минимальное значение порядка -126 определяет минимальное по модулю, отличное от нуля, машинное число (около 1.17x10-38). Максимальное значение порядка составляет 127, что приблизительно соответствует значению 1.70x1038.
Число в представлении с двойной точностью занимает 64 двоичных разряда, из которых 52 разряда отводятся мантиссе и 11 разрядов порядку.
Для чисел с двойной точностью в десятичной системе диапазон значений составляет: от 2.22x10-308 до 1.79x10308.
Количество значащих цифр и пределы изменения в этом случае больше, чем в формате с простой точностью (до 16 значащих цифр).
Расширенный формат используется для повышения точности промежуточных результатов вычислений.
Исходные данные для вычислений задаются с простой или двойной точностью, промежуточные вычисления выполняются с расширенной точностью, а окончательный результат формируется преобразованием к простой или двойной точности.
Расширенный формат используется и для вычисления значений математических функций. Диапазон значений от 3.4x10-4932 до 1.2x104932.
Особые значения.
Порядок 255 при нулевой мантиссе представляет значение "бесконечность". Порядок 255 при ненулевой мантиссе представляет значение, которое обозначается символьной строкой NaN (Not-a-Number, не число). Оно возникает при выполнении недопустимой операции вроде деления нулевого значения на нулевое или извлечения квадратного корня из отрицательного числа.
Если порядок равен нулю, а мантисса отлична от нуля, число называется анормальным (субнормальным, денормализованным). Оно может быть использовано для представления положительного и отрицательного нулей, а также значений, меньших минимального нормализованного числа. Субнормальные числа заполняют щель между нулем и наименьшим ненулевым нормализованным значением. Для чисел с простой точностью минимальное субнормальное значение равно 1.4x10-45, для чисел с двойной точностью 4.9x10-324, а для чисел с расширенной точностью не более 3.6x10-4951.
Положительный и отрицательный нули отличаются с точки зрения операции деления на ноль, которая в первом случае дает особое значение "положительная бесконечность", а во втором - "отрицательная бесконечность".
Существуют также форматы IBM, CRAY и некоторые другие. Они не получили широкого распространения.
Похожие статьи
-
Арифметические операции в двоичной системе счисления Умножение в двоичной системе счисления = поразрядные сдвиги + суммирование Основные форматы хранения...
-
Операционные элементы ЭВМ - Представление и хранение информациии в ЭВМ
Операционные элементы - это устройства цифровой техники, которые выполняют некоторые микрооперации за один или несколько тактов. Эти устройства...
-
Представление информации в ЭВМ - Представление и хранение информациии в ЭВМ
В большинстве ЭВМ информация представляется в двоичном виде (Существуют так же двоично-десятичные и троичные ЭВМ). Это обусловлено, в основном,...
-
Контроль функционирования ЭВМ - Представление и хранение информациии в ЭВМ
Назначение схем контроля цифровых устройств, виды контроля для комбинационных схем Потери времени в таких сложных объектах, как ЭВМ, в первую очередь...
-
Системы счисления. Представление данных в ЭВМ - Основы программирования
В современном мире для записи числовой информации используют позиционные системы счисления, в которых числа записываются с помощью ограниченного...
-
Вычислить максимум функции F(x)=-L(x1)x2+3.1L(x2)x+5 на отрезке [a;b] с точностью е. L(x1), L(x2) - значения интерполяционного многочлена, построенного...
-
Кодирование информации -- процесс преобразования сигнала из формы, удобной для непосредственного использования информации, в форму, удобную для передачи,...
-
Выведем в общем виде уравнение движения заданной динамической модели при помощи уравнений Лагранжа II рода. Полная кинетическая энергия: , Полная...
-
Процессоры Digital Еquiрmеnt - Микропроцессоры для пользователя
Digital Еquiрmеnt процессор AlрНa наиболее тесно следует в русле RISC-философии по сравнению со своими конкурентами, "посрезав излишки сала" с аппаратуры...
-
Компромиссная система, для удобства восприятия данных человеком и корректной работы компьютера, двоично-десятичная запись чисел. Принцип построения этой...
-
Первый способ нахождения обесцененной лексики в текстах является самым простым. Данный способ - это простой поиск по совпадению, то есть мы берем слово...
-
Каждая СУБД имеет особенности в представлении структуры таблиц, связей, определении типов данных и т. д. которую необходимо учитывать при проектировании....
-
Для третьего способа мне понадобился способ под названием "Стемминг". Данное понятие очень популярно во всемирной паутине, так как оно применяется в...
-
Форматы графических данных В компьютерной графике применяют, по меньшей мере, три десятка форматов файлов для хранения изображений. Но лишь часть из них...
-
Программные модули проекта, Представление графа в памяти ЭВМ - Алгоритмы нескольких махов
Все программы были реализованы на языке С++ на персональной ЭВМ с операционной системой Windows. Каждая программа представляет собой консольное...
-
В работе возникает необходимость выбора предметной области, в которой будет тестироваться каскадный классификатор. Главными вопросами на данном этапе...
-
Файлы с плотным индексом или индексно-прямые файлы - Проблема организации и хранения данных
В этих файлах основная область содержит последовательность записей одинаковой длины, расположенных в произвольном порядке, а структура индексной записи в...
-
Цель Работы - использовать принципы архитектуры "Документ-Представление" для выборки и сохранения данных в файлах, а также взаимодействия элементов меню,...
-
Таким образом, с точки зрения описываемого метода, возможны два класса аномалий: - Аномалии, связанные с обнаружением недопустимых операций. - Аномалии,...
-
Выходные данные для работы программы представляют собой матрицу типа "функции-данные", где связь бизнес-функций и элементов данных описывается большим...
-
Перед началом непосредственного использования программы "Сервер опроса", следует создать рабочую конфигурацию сервера с помощью программы - конфигуратора...
-
Запросы - Проблема организации и хранения данных
Запрос представляет собой специальную функцию, позволяющую выводить необходимые поля из таблицы, а также производить операции с данными полями в режиме...
-
При этой стратегии файловое пространство не разделяется на области, но для каждой записи добавляются два указателя: указатель на предыдущую запись в...
-
Физические модели хранения данных определяют методы размещения данных в памяти компьютера или на соответствующих носителях информации, а также способы...
-
Примеры визуального представления данных - Визуализация количественных данных
Визуализация программный обеспечение данные В научно-технической документации применяются различные виды визуализации (ниже приведены примеры...
-
Способы представления звука в цифровом виде - Разработка системы регистрации новых пользователей
Исходная форма звукового сигнала - непрерывное изменение амплитуды во времени - представляется в цифровой форме с помощью "перекрестной дискретизации" -...
-
Под термином графика обычно понимается визуальное (то есть воспринимаемое зрением) представление каких-либо реальных или воображаемых объектов. Графика...
-
Создание представлений - Банки и базы данных. Системы управления базами данных
Представлением (View) называется виртуальная таблица, отображающая данные, получаемые из реальных таблиц БД, а также из других представлений....
-
Форматы файлов для хранения растровых графических изображений - Обзор графических редакторов
Как правило, файлы для хранения растровых графических изображений логически состоят из двух частей: заголовка и области данных. В заголовке указаны...
-
ТИПЫ ДАННЫХ, ПРОСТЫЕ ТИПЫ - Типы данных в программе Турбо Паскаль
Любые данные, т. е. константы, переменные, значения функций или выражения, в Турбо Паскале характеризуются своими типами. Тип определяет множество...
-
Среди бурно развивающихся систем компьютерной математики СКМ, в первую очередь ориентированных на численные расчеты, особо выделяется матричная...
-
Инструкция программиста - Кодирование информации
Данная учебная программа должна запускаться на IBM и совместимых компьютерах. Минимальные системные требования: процессор Pentium и выше, объем...
-
Поиск максимума функции F(x) на отрезке [a;b] - Вычисление максимума функции с некоторыми критериями
Постановка задачи: Необходимо численным методом найти максимум функции F(x)=-L(x1)x2+3.1L(x2)x+5 На отрезке [a;b] с точностью е, при том, что L(x1) и...
-
История функционального программирования - Основные свойства функциональных языков программирования
Широко известно, что теоретические основы императивного программирования были заложены еще в 30-х годах XX века учеными Аланом Тьюрингом и Джоном фон...
-
Задание на курсовую работу - Вычисление интегралов в Mathcad
1. Задание 1. 1.1. Постройте и отформатируйте график функции f(x) на заданном отрезке. 1.2 Найти (графически) точки, в которых достигаются наибольшее и...
-
Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b Таблица 1 - Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b № Вар Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора...
-
В данной главе приводится описание различных криптографических алгоритмов для безопасной передачи данных в приложении. RSA Для того, чтобы избежать...
-
Принцип реализации СЛАУ на кластере - Администрирование параллельных процессов
Метод Гаусса - широко известный прямой алгоритм решения систем линейных уравнений, для которых матрицы коэффициентов являются плотными. Если система...
-
Представляет память для сохранения знаний с плавающей точкой, которые доступны через параметр конфигурации PV. Вход / Выход Блок до 16 входов (SENDFLAG...
-
После обмена данными с АЦП происходит преобразование считанных данных в одно целое число, характеризующее уровень сигнала на входе АЦП. Т. к. АЦП имеет...
Машинная арифметика с плавающей точкой - Представление и хранение информациии в ЭВМ