Представление числовых данных в компьютерных системах - Компьютерная арифметика
Компьютерный арифметика счисление двоичный
Система вещественных чисел, используемая в ручных расчетах, предполагается бесконечной и непрерывной, т. е. отсутствуют ограничения на диапазон используемых чисел и точность (количество значащих цифр).
Пояснение: для любого вещественного числа существует бесконечно много чисел, которые больше или меньше его, и между любыми двумя вещественными числами находится также бесконечно много чисел.
В компьютерной технике размеры устройств ограничены. Эти ограничения касаются диапазона чисел и точности их представления. Поэтому система машинных чисел является конечной и дискретной, образуя подмножество системы вещественных чисел.
На рис. 3.1 схематически представлена система машинных чисел где (XMax) и (XMin) - соответственно максимально и минимально представимые числа, между которыми находится конечное множество допустимых чисел.
Рисунок 3.1 - Система машинных чисел
Если результат операции по модулю превышает |XMax|, то возникает переполнение (overflow). Если модуль результата |X|<|XMin|, фиксируется антипереполнение (underflow). В этом случае большинство компьютеров возвращают в качестве результата операции (0). Поэтому область чисел от
- (-XMin до XMin), за исключением истинного нуля, называют машинным нулем. В современных универсальных компьютерных системах преимущественно используют две формы представления чисел: - с фиксированной запятой (фиксированной точкой - fixed point) - естественная форма; - с плавающей запятой ( плавающей точкой - floating point) - альтернативные названия - нормальная, экспоненциальная, научная запись или полулогарифмическая.
Например, пусть задано число:
. (3.1)
Где: Х - некоторое число;
- - цифры слева от запятой; - цифры справа от запятой.
В позиционной системе счисления с основанием (2) его можно записать в виде:
. (3.2)
Где: Х - некоторое число;
M - мантисса;
2 - основание системы счисления;
P - порядок.
Если каждому числу (X) в компьютерной системе однозначно соответствует мантисса (M), а порядок (Р) фиксирован для всех чисел, то число (X) представлено в форме с фиксированной запятой. Порядок (Р) в этом случае устанавливается заранее при подготовке задачи к решению, причем число (2-P), по существу, является масштабным коэффициентом, на который необходимо умножить исходные данные для того, чтобы избежать переполнения разрядной сетки.
Естественная форма характеризуется тем, что положение разрядов (и запятой) в машинном представлении чисел остается всегда постоянным независимо от величин чисел, с которыми оперирует компьютерная система. С целью упрощения процедуры определения масштабных коэффициентов запятую обычно фиксируют перед старшим разрядом мантиссы или после ее младшего разряда.
В первом случае компьютерная система оперирует с числами, которые по абсолютной величине меньше единицы, то есть, с правильными дробями. Если количество разрядов для представления мантиссы равно (n), то: (|XMin|=2-n, |XMax|=1-2-n).
Во втором случае компьютерная система выполняет операции с целыми числами, абсолютные величины которых находятся в пределах от (1 (минимального, не равного нулю числа) до 2N-1).
Если каждому числу (X) однозначно соответствует пара (М) и (Р), то такое представление называют формой с плавающей запятой. Следует иметь в виду, что положение запятой в реальной разрядной сетке компьютерной системы физически никак не указывается, а только "подразумевается" и само число можно записать в виде:
. (3.3)
. (3.4)
Где: Х - некоторое число;
М - мантисса числа (Х);
Е - разделитель мантиссы и порядка числа (Х);
Р - порядок числа (Х).
Для однозначного представления числа в нормальной форме принято, что мантисса должна удовлетворять условию:
. (3.5)
То есть мантисса должна быть правильной дробью, а ее старшая цифра -- отличной от (0). В таком случае представление числа является нормализованным. Помимо однозначного представления, это дает еще и сохранение максимального количества значащих цифр мантиссы при выполнении операций. Положение разрядов числа в форме с плавающей запятой не является постоянным, то есть запятая как бы плавает.
С учетом рассмотренных ранее структурных единиц информации, различают несколько форматов данных с фиксированной запятой. Например, в компьютерах IBM PC AT машинное слово имеет длину 16 бит (2 байта).
Используются следующие форматы: слово, полуслово (байт), двойное слово (doubleword), учетверенное слово (quadword).
В соответствии с перечисленными форматами различают базовые типы целочисленных данных:
- - слово - 8 бит; - целое слово - 16 бит; - короткое целое слово - 32 бит; - длинное целое слово - 64 бит.
Для того, чтобы компьютерная система могла оперировать как положительными, так и отрицательными числами, в разрядную сетку машинного представления числа необходимо ввести знаковую часть.
В двоичной системе счисления принято знак положительного числа обозначать "0", а знак отрицательного числа - "1" (обычно это крайний левый бит в представлении числа), как показано на рис.3.2.
Рисунок 3.2 - Формат числа в двоичной системе счисления со знаковым битом
Будем обозначать целые знаковые числа в виде:
. (3.6)
А правильные дроби:
. (3.7)
В связи с тем, что алгоритмы выполнения операций в компьютерных системах имеют свою специфику, возникает проблема представления отрицательных чисел.
Ее решают за счет использования особых способов кодирования числовых данных.
Рассмотрим три наиболее распространенных кода, которые применяются на практике: - прямой код; - обратный код; - дополнительный код.
Прямой код используется для представления отрицательных чисел в запоминающем устройстве компьютерной системы, а также при умножении и делении.
Обратный и дополнительный коды используются для замены операции вычитания операцией сложения, что упрощает устройство арифметического блока компьютерной системы.
К кодам выдвигаются следующие требования:
- - разряды числа в коде жестко связаны с определенной разрядной сеткой; - для записи кода знака в разрядной сетке отводится фиксированный, строго определенный разряд. 1. Прямой код. Наиболее естественный код. Формируется следующим образом: в знаковый бит (SX) числа помещают знак числа (0 - если число положительное и 1 - если число отрицательное ), а остальные биты используют для абсолютного значения (модуля) числа. Правило преобразования чисел в прямом коде можно записать так:
. (3.8)
Где A - вес старшего разряда в n-разрядной сетке, A=2S-1.
Отображение s-битных наборов ( прямой код верхняя числовая прямая) на числовую ось ( числа нижняя числовая прямая ) для компьютерной системы показано на рис. 3.3
Рисунок 3.3- Отображение s-битных наборов (прямой код) на числовую ось
Например:
Десятичное Число |
Двоичное Число |
Прямой Код |
Комментарии |
(0(10)) |
0000(2) |
0,000 |
Положительный (0) |
(0(10)) |
0000(2) |
1,000 |
Отрицательный (0) |
(4(10)) |
0100(2) |
0,100 |
Положительная (4) |
(- 4(10)) |
1100(2) |
1,100 |
Отрицательная (4) |
(3(10)) |
0011(2) |
0,011 |
Положительная (3) |
(- 3(10)) |
1011(2) |
1,011 |
Отрицательная (3) |
Диапазон представимых чисел: -(2S-1-1)...(2S-1).
Положительный момент заключается в удобстве операции ввода-вывода данных. Отрицательный момент в том, что существует два представления (0) и операция алгебраического сложения требует анализа знаков и модулей операндов, и выбора фактической операции сложения или вычитания.
2. Обратный код. Обратный (n - разрядный) двоичный код положительного целого числа состоит из одноразрядного кода знака (0), за которым следует ( n - 1) разрядное двоичное представление модуля числа, то есть обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом.
Обратный ( n - разрядный ) двоичный код отрицательного целого числа состоит из одноразрядного кода знака (1), за которым следует ( n - 1) разрядное двоичное число, представляющее собой инвертированное (n - 1) разрядное представление модуля числа, то есть для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные, а именно ( 1 на 0, а 0 на 1) и в знаковый разряд заносится единица.
Обратный код числа определяется соотношением:
. (3.9)
Где B=2S-1=XMax - максимальное число в n-разрядной сетке.
Отображение s-битных наборов ( обратный код верхняя числовая прямая) на числовую ось ( числа нижняя числовая прямая ) для компьютерной системы показано на рис. 3.4.
Рисунок 3.4 - Отображение s-битных наборов (обратный код ) на числовую ось
Например:
Десятичное Число |
Двоичное Число |
Обратный Код |
Комментарии |
(0(10)) |
0000(2) |
0,000 |
Положительный (0) |
(0(10)) |
1111(2) |
1,111 |
Отрицательный (0) |
(4(10)) |
0100(2) |
0,100 |
Положительная (4) |
(- 4(10)) |
1011(2) |
1,011 |
Отрицательная (4) |
(3(10)) |
0011(2) |
0,011 |
Положительная (3) |
(- 3(10)) |
1100(2) |
1,100 |
Отрицательная (3) |
Диапазон представимых чисел: -(2S-1-1)...(2S-1).
Положительный момент заключается в том, что при сложении обратных кодов чисел как беззнаковых чисел получаем обратный код суммы.
Отрицательный момент заключается в том, что существует два представления (0) и при выполнении операций сложения в обратном коде требуется коррекция суммы с помощью циклического переноса единицы переполнения из знаковых разрядов суммы.
Похожие статьи
-
Арифметические операции в двоичной системе счисления Умножение в двоичной системе счисления = поразрядные сдвиги + суммирование Основные форматы хранения...
-
Системы счисления - Компьютерная арифметика
Как было отмечено в первой главе Система счисления - совокупность приемов и правил для установления однозначного соответствия между любым числом и его...
-
Системы счисления. Представление данных в ЭВМ - Основы программирования
В современном мире для записи числовой информации используют позиционные системы счисления, в которых числа записываются с помощью ограниченного...
-
Классификация систем счисления - Компьютерная арифметика
В настоящее время различают Позиционные И Непозиционные системы счисления. Классификация систем счисления приведена на рис. 2.1. Рисунок 2.1 --...
-
Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую - Компьютерная арифметика
Задача перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую является одной из главных в компьютерной арифметике. Ее можно сформулировать...
-
Особенности формата представления данных IEEE 754
IEEE 754 - стандарт разработанный ассоциацией IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) и использующийся для представления действительных...
-
Для того, чтобы разработать оптимальный метод интеграции сторонних систем в существующую ИТ-инфраструктуру систем компании, требуется точно поставить...
-
Проблема представления знаний в компьютерных системах - одна из основных проблем в области искусственного интеллекта. Решение этой проблемы позволит...
-
Машинная арифметика с плавающей точкой - Представление и хранение информациии в ЭВМ
Число с плавающей точкой: X=±Mx-S±px Здесь: M - мантисса; S - порядок. 0.314 101 0.0314 102 Машинные числа. Машинными называются числа, допускающие...
-
Вся информация, которую обрабатывает компьютер, должна быть представлена двоичным кодом с помощью двух цифр -- 0 и 1. Эти два символа принято называть...
-
Программный интерфейс для базы данных я разрабатывал в объектно-ориентрованной среде Delphi, с помощью Embarcadero RAD Studio. Конструктор форм Delphi в...
-
Выходные формы, Представления - Создание хранилища данных для информационной системы
В рамках данного проекта организация данных в виде БД преимущественно была необходима для того, чтобы из БД можно было оперативно получить статистические...
-
Типы данных и команды SQL - Разработка информационной системы "Магазин компьютерных товаров"
Microsoft SQL Server поддерживает большинство типов данных SQL 2003. Также SQL Server поддерживает дополнительные типы данных, используемые для...
-
Нормализация Базы Данных - Разработка информационной системы "Магазин компьютерных товаров"
Результатом работы с АИС магазина компьютерных товаров является чек, который оформляет продавец. В этом чеке должна содержаться информация о количестве...
-
Основные термины теории баз данных - БД (База данных) - совокупность специальным образом организованных данных, хранимых в памяти вычислительной системы...
-
Отличия цифрового представления сигналов от аналогового Традиционное аналоговое представление сигналов основано на подобии (аналогичности) электрических...
-
Создание представлений - Банки и базы данных. Системы управления базами данных
Представлением (View) называется виртуальная таблица, отображающая данные, получаемые из реальных таблиц БД, а также из других представлений....
-
Выбор информационной модели и программного средства ее представления - Проектирование информационной системы, основанной на реляционной базе данных,...
-
ИЕРАРХИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДАННЫХ ИМД основана на понятии деревьев, состоящих из вершин и ребер. Вершине дерева ставится в соответствие совокупности атрибутов...
-
Базовые понятия и определения компьютерной арифметики - Компьютерная арифметика
Компьютерная арифметика - совокупность принципов и форм представления числовой информации, методов и алгоритмов выполнения арифметических операций и...
-
Структура и процесс функционирования системы управления базами данных - Разработка базы данных
СУБД является прикладным программным обеспечением, предназначенным для решения конкретных прикладных задач и выполнения системных функций, расширяющих...
-
Информационно-логические модели данных, Иерархическая модель - Система управления базами данных
Иерархическая модель Иерархическая структура представляет совокупность элементов, связанных между собой по определенным правилам. Графическим способом...
-
В современной технологии баз данных предполагается, что создание базы данных, ее поддержка и обеспечение доступа пользователей к ней осуществляются...
-
Система мониторинга социальных сетей предоставляет исследователю возможность собрать интересующие его упоминания в социальных сетях по какой-либо...
-
Форматы графических данных В компьютерной графике применяют, по меньшей мере, три десятка форматов файлов для хранения изображений. Но лишь часть из них...
-
Электронная почта обеспечивает доставку писем (а часто и пpоизвольных файлов, а также голосовых и факсимильных сообщений) от одних пользователей к...
-
Пространственные Данные Описывают пространственную структуру объектов включая их форму и положение относительно друг друга в пространстве. Обычно...
-
Представление информации в ЭВМ - Представление и хранение информациии в ЭВМ
В большинстве ЭВМ информация представляется в двоичном виде (Существуют так же двоично-десятичные и троичные ЭВМ). Это обусловлено, в основном,...
-
Физические модели БД - Банки и базы данных. Системы управления базами данных
Под физической моделью БД понимается способ размещения данных на устройствах внешней памяти и способ доступа к этим данным. Каждая СУБД по-разному...
-
Каждая СУБД имеет особенности в представлении структуры таблиц, связей, определении типов данных и т. д. которую необходимо учитывать при проектировании....
-
Типы СУБД - Система управления базами данных
По степени универсальности систем управления базами данных различают два вида - системы общего назначения и специализированные системы. СУБД общего...
-
Типы полей ограничивают вводимую пользователем информацию по содержанию. В Системе используются следующие типы полей данных: Text . Поле ввода текста в...
-
Введение - Система управления базами данных
Развитие средств вычислительной техники обеспечило для создания и широкого использования систем обработки данных разнообразного назначения....
-
Инфологические и даталогические модели данных - Теория экономических информационных систем
СУБД должна предоставлять доступ к данным любым пользователям, включая и тех, которые практически не имеют и (или) не хотят иметь представления о: -...
-
CASE-технологии - Банки и базы данных. Системы управления базами данных
В последнее время широкое распространение получила технология автоматизированного проектирования информационных систем (ИС) и программных продуктов,...
-
Базы данных - это определенная совокупность информационных данных, отображающих в максимально возможной полноте состояние тех или иных объектов или...
-
Общие сведения о ГИС. Данные. Функции ГИС - Общие сведения о геоинформационных системах
Появление географических информационных систем относят к началу 60-х годов ХХ века. Именно тогда появились предпосылки и условия для информатизации и...
-
Определение методов реинжиниринга информационных систем Основные задачи, которые стоят перед проектировщиком, занимающимся реинжинирингом информационных...
-
В связи с увеличением числа сотрудников, работающих в компании, а также с расширением рабочего проекта, возникла проблема, связанная с версионностью...
-
Программное средство "Зарплата и управление персоналом" ПС "1С: Зарплата и управление персоналом 8.0" НАО "Вальмонт индастрис" (далее - ЗУП система)...
Представление числовых данных в компьютерных системах - Компьютерная арифметика