Классификация систем счисления - Компьютерная арифметика

В настоящее время различают Позиционные И Непозиционные системы счисления. Классификация систем счисления приведена на рис. 2.1.

классификация систем счисления

Рисунок 2.1 -- Классификация систем счисления

Непозиционная Система счисления: это такая система счисления, в которой каждой цифре на любом ее месте в записи числа однозначно соответствует один и тот же количественный эквивалент.

Наиболее известным примером такой системы является Римская система счисления, рис. 2.2, например:

Десятичные числа:

1

5

10

50

100

500

1000

Римские цифры:

I

V

X

L

C

D

M

Рисунок 2.2 - Соответствие десятичных чисел римским цифрам

В римской системе счисления несколько стоящих рядом одинаковых цифр суммируются рис.2.3:

XXX = X+X+X= 30(10).

Рисунок 2.3 - Пример записи числа с основанием (10) в Римской системе счисления

Если рядом стоят разные цифры, причем младшая - справа от старшей, то они также суммируются, рис.2.4:

XVI = X+V+I = 16(10).

Рисунок 2.4 - Пример записи числа с основанием (10) в Римской системе счисления

Если же младшая цифра находится слева от старшей, то она вычитается из этой старшей цифры рис.2.5:

IX = X - I = 9(10).

Рисунок 2.5 - Пример записи числа с основанием(10) в Римской системе счисления

Недостатки римской системы счисления заключаются в следующем:

    - в пределе, теоретически, она имеет бесконечное количество цифр; - арифметические действия над числами очень сложны; - отсутствует цифра {0}.

Позиционная Система счисления: это такая система счисления, в которой одной и той же цифре в зависимости от ее местоположения в записи числа соответствуют различные количественные эквиваленты. Наиболее известным примером такой системы является Десятичная система счисления, например: цифры 1 и 2 в зависимости от местоположения этих цифр в числе изменяется значение самого числа рис.2.6:

Разряды:

Десятки

Единицы

Цифры:

1

2

Рисунок 2.6 - Пример записи числа в десятичной системе счисления

При таком положении цифр получается число Двенадцать (12(10)). Нижний индекс при записи числа обозначает основание системы счисления, в данном случае ((10)) означает десятичную систему счисления. Если поменять местами цифры 1 и 2, рис.2.7:

Разряды:

Десятки

Единицы

Цифры:

2

1

Рисунок 2.7 - Пример записи числа в десятичной системе счисления

Получается число Двадцать один (21(10)). Для определения количественного эквивалента полной записи числа в позиционной системе счисления используется некоторая функция от количественных эквивалентов цифр. Если этой функцией является функция сложения, то систему называют Аддитивной, если же используется функция умножения - систему называют Мультипликативной.

Любое число в позиционной системе счисления может быть записано в виде:

(2.4)

Где - количественный эквивалент числа (А), состоящего из (n) цифр;

    - цифра, ; - основание системы счисления.

В левой части равенства записано символическое изображение числа.

В правой части равенства показано, что все цифры числа в разных позициях имеют разный вес, при этом каждая позиция с присвоенными ей номером и весом называется - разрядом числа.

Правило: Количественный эквивалент числа в позиционной системе счисления равен сумме произведений количественных значений цифр и степеней основания, показатели которых равны номерам разрядов, причем нумерация разрядов начинается с (0).

Например: , n=4, p=10, тогда можно записать:

(2.5)

Тогда:

.

Однородность системы счисления означает, что во всех разрядах числа, записанного в такой системе, используют цифры из одного и того же множества.

Например, в обычной десятичной системе счисления во всех разрядах числа используются цифры из множества рис.2.8:

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},

Рисунок 2.8 - Множество цифр использующихся в десятичной системе счисления

В двоичной системе счисления используются цифры из множества рис.2.9:

{0,1},

Рисунок 2.9 - Множество цифр использующихся в двоичной системе счисления

В троичной системе счисления используются цифры из множества рис.2.10:

{0,1,2},

Рисунок 2.10 - Множество цифр использующихся в троичной системе счисления

В пятеричной системе счисления используются цифры из множества рис.2.11:

{0,1,2,3,4},

Рисунок 2.11 - Множество цифр использующихся в пятеричной системе счисления

В восьмеричной системе счисления используются цифры из множества рис.2.12:

{0,1,2,3,4,5,6,7},

Рисунок 2.12 - Множество цифр использующихся в восьмеричной системе счисления

В шестнадцатеричной системе счисления при записи числа используются цифры и буквы рис.2.13:

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F}.

Рисунок 2.13 - Множество цифр и букв использующихся в шестнадцатеричной системе счисления

Если позиционная система счисления Однородная с непосредственным представлением цифр и с естественным порядком весов, то любое число может быть представлено в виде суммы попарных произведений:

(2.6)

Где - количественный эквивалент числа (А);

    - цифра, - основание системы счисления. S - количество разрядов в целой части числа слева от запятой;

M - количество разрядов в дробной части числа справа от запятой.

Исходя из выше сказанного можно записать:

.

Или:

.

Соответствие чисел в (10 - ой), (16 - ой), (8 - ой) и (2 - ой) системах счисления приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1 - Соответствие чисел в (10 - ой), (16 - ой), (8 - ой) и (2 - ой) системах счисления

Десятеричная

Х(10)

Шестнадцатеричная

Х(16)

Восьмеричная

Х(8)

Двоичная

Х(2)

0

0

0

0000

1

1

1

0001

2

2

2

0010

3

3

3

0011

4

4

4

0100

5

5

5

0101

6

6

6

0110

7

7

7

0111

8

8

10

1000

9

9

11

1001

10

А

12

1010

11

В

13

1011

12

С

14

1100

13

D

15

1101

14

Е

16

1110

15

F

17

1111

Помимо Позиционных однородных систем известны также Позиционные неоднородные (смешанные) системы счисления.

В таких системах цифры в разных разрядах могут принимать значения из различных множеств.

Задают неоднородные системы с помощью двухстрочных матриц вида:

(2.7)

Здесь в первой строке матрицы указано число разрядов (tI), отводимых в (i-й) группе разрядов (i=) представления числа для записи цифр по основанию (kI), которое указано во второй строке того же столбца.

Неоднородные системы Счисления, так же как и однородные, могут быть с Непосредственным и с Кодированным представлением цифр.

Примером смешанной системы с кодированным представлением цифр Является система измерения времени (в годах, месяцах, неделях, сутках, часах, минутах и секундах).

Например: надо выразить время в 2- года, 25 - суток, 14 - часов, 35 - минут и 48 секунд, в секундах. Тогда можно записать, что основание в каждом разряде равно:

Цифры имеют следующие значения:

По формуле (2.4) можно записать:

.

Существует так же неоднородная двоично-пятиричная система счисления, в которой в нечетных разрядах основание р1=5,(аІ= 0 - 4), а в четных разрядах основание р2=2,(аІ= 0,1).

Так как произведение весов двух соседних (четного и нечетного) разрядов равно десяти, то двумя двоично-пятиричными разрядами можно кодировать одну десятичную цифру.

Пример записи десятичных цифр от 0 до 9 в двоично-пятиричной системе приведен в табл. 2.2.

Таблица 2.2 - Пример записи десятичных цифр в двоично-пятиричной системе

А(10)

А(2-5)

А(10)

А(2-5)

0

00

5

10

1

01

6

11

2

02

7

12

3

03

8

13

4

04

9

14

Например: записать число 853(10) в двоично-пятиричной системе счисления.

Решение: исходя из значений, представленных в табл. 2.2 имеем:

8(10)=13(2-5)

5(10)=10(2-5)

3(10)=03(2-5)

Тогда: А(10) = 131003(2-5).

Существует так же Кодированные системы счисления - это позиционные системы счисления, в которых цифры одной системы счисления кодируются при помощи цифр другой системы, а число в общем виде записывается следующим образом:

. (2.8)

Где: А - число;

    - цифра; - основание системы счисления, символами которой кодируются цифры;

Р - основание исходной системы счисления.

Классическим примером кодированной системы счисления есть - двоично-десятичная система.

При двоично-десятичном кодировании каждая десятичная цифра заменяется тетрадой (четверкой) двоичных цифр, а сами тетрады записываются последовательно в соответствии с порядком следования десятичных цифр.

При обратном преобразовании двоично-десятичного кода в десятичный исходный код разбивается на тетрады вправо и влево от запятой, которые затем заменяются десятичными цифрами.

Таким образом, при двоично-десятичном кодировании фактически не производится перевод числа в новую систему счисления, а мы имеем деле с двоично-кодированной десятичной системой счисления.

Например: десятичное число 12(10) записать в двоично-десятичной системе счисления = 00010010(2-10).

При построении кодированных позиционных систем счисления в качестве весов разрядов могут быть выбраны как члены геометрической прогрессии, так и произвольные числа.

В зависимости от этого кодированные системы счисления делятся на кодированные системы счисления с естественными разрядами весов и на кодированные системы счисления с искусственными разрядами весов.

Кодированные системы счисления с естественными разрядами весов - это позиционная система счисления, в которой в качестве весов разрядов используются члены геометрической прогрессии.

Примером системы счисления с естественными разрядами весов может служить двоично-десятичная система с весами (8-4-2-1).

Кодированные системы счисления с искусственными разрядами весов - это позиционная система счисления, в которой в качестве весов разрядов используются произвольные числа.

Примером системы счисления с искусственными разрядами весов может служить двоично-десятичная система с весами (2-4-2-1, 5-2-1-3).

Искусственный порядок весов широко применяется в аналогово-цифровых и цифро-аналоговых преобразователях.

В табл. 2.3 представлены числа, записанные в десятичной системе счисления и в кодированной системе счисления с естественным и искусственным порядком весов.

Таблица 2.3 - Числа десятичной системы счисления и кодированной системе счисления с естественным и искусственным порядком весов.

Десятичная СС

Кодированная СС

8-4-2-1

Кодированная СС

4-2-2-1

Кодированная СС

2-4-2-1

0

0000

0000

0000

1

0001

0001

0001

2

0010

0010

0010

3

0011

0011

0011

4

0100

0110

0100

5

0101

0111

0101

6

0110

1010

0110

7

0111

1011

0111

8

1000

1110

1110

9

1001

1111

1111

Например: десятичное число 1593(10) в двоично-десятичной системе счисления с естественными разрядами весов 8-4-2-1 имеет вид: 0001 0101 1001 0011, а в двоично-десятичной системе счисления с искусственными разрядами весов 2-4-2-1 имеет вид: 0001 0101 1111 0011.

В современных компьютерных системах помимо рассмотренных систем счисления встречаются и системы счисления с непостоянными разрядами весов. Наиболее известным примером таких систем является код Грея.

Кодом Грея порядка (n) называется любая циклическая последовательность всех наборов из (0) и (1) длины (n), в которой два соседних набора отличаются ровно в одной компоненте.

Код Грея является одношаговым кодом, т. е. при переходе от одного числа к другому всегда меняется лишь какой то один из всех битов. Соответствие десятичных чисел в диапазоне от 0 до 15 двоичным числам и коду Грея приведено в табл. 2.4.

В двоичном коде при переходе от изображения одного числа к изображению соседнего числа может происходить одновременное изменение цифр в нескольких разрядах, что может явиться источником ошибок, в работе аппаратуры в некоторых случаях например при переходе от 7 к 8.

В коде Грея два соседних значения отличаются только в одном разряде.

Двоичные разряды в коде Грея не имеют постоянного веса. Код Грея изначально предназначался для защиты от ложного срабатывания электрических переключателей. Сегодня код Грея широко используется для упрощения выявлений и исправления ошибок в системах связи.

Таблица 2.4 - Соответствие десятичных чисел в диапазоне от 0 до 15 двоичным числам и коду Грея

Десятичные числа

Двоичные числа

Код Грея

0

0000

0000

1

0001

0001

2

0010

0011

3

0011

0010

4

0100

0110

5

0101

0111

6

0110

0101

7

0111

0100

8

1000

1100

9

1001

1101

10

1010

1111

11

1011

1110

12

1100

1010

13

1101

1011

14

1110

1001

15

1111

1000

Похожие статьи




Классификация систем счисления - Компьютерная арифметика

Предыдущая | Следующая