Уравнения связи между напряжениями и скоростями деформации, полученные на основе теории пластического течения - Уравнения пластического состояния деформируемых твердых тел

В пределах упругости зависимость между деформациями и напряжениями определяется системой уравнений, обобщенного закона Гука.

Линейные упругие деформации для сдвигов:

G - модуль упругости первого и второго рода

Рассмотрим характер связи напряжения и деформации при пластической деформации.

Воспользуемся следующим подтверждающим положением: "В каждый данный момент активной пластической деформации направление главных линейных деформаций и главных нормальных напряжений совпадает, а диаграммы Мора для деформации и напряжения геометрически подобны".

условие пластичности треска - сен - венана

Рисунок 5 - Условие пластичности Треска - Сен - Венана: шестигранный контур пластичности при плоском напряженном состоянии.

Активная деформация предполагает, что в каждый момент времени величина у превышает предыдущие значения.

Исходя из подобия кругов Мора и пропорциональности девиаторов деформаций и напряжений.

подобие кругов мора для напряжений и деформаций

Рисунок 6 - Подобие кругов МОРА для напряжений и деформаций.

Мы можем записать

    - коэффициент пропорциональности -модульпластичности 2 рода

Среднее выражение (12) подставим из условия постоянства объема

Решим его относительно:

Полученное значение подставим в первое выражение равенства (12) и решаем относительное.

Аналогичные решения выполним для и. В результате решения получим систему уравнений, которая представляет еще одну форму записи обобщенного закона Гука, но для пластической деформации.

Соотношения между этими модулями аналогично соотношению между модулями упругости.

Для пластического состояния в уравнение (13) и (14) коэффициент Пуассона принят равным.

Таким образом, уравнение (10) и (13) отличаются только коэффициентами. Обобщенную зависимость между и интенсивностью деформаций можно записать следующим образом:

Интенсивность деформации определяет степень упрочнения материала, которую можно выразить функциональной зависимостью:

Эта зависимость выражается кривой в координатах:, который строится по экспериментальным данным в условиях линейного нагруженияпри осадки или растяжения цилиндрических образцов. В этом случае интенсивность нормальных напряжений

Если в уравнение (13) заменить суммы напряжений разностями например,, то с учетом уравнений (15) и (16) можно записать обобщенную зависимость между напряжениями и деформациями в девиаторной форме, т. е. для пластической деформации:

Где.

Если компоненты напряжений и деформаций заданы в произвольных осях координат, то в уравнение (13) и (14) нужно добавить еще 3 уравнения связи касательных напряжений и деформации сдвига.

При этом значения напряжения деформации в уравнении (13) и (17) следует записывать тоже с индексом x, y, z. Между модулями упругости и пластичности первого и второго рода существует принципиальная разница, состоит она в том, что если для упругого состояния эти модули являются const, то при пластическом состоянии они могут принимать в каждый момент различные значения.

На основании принятых допущений можно утверждать, что коэффициент вида напряженного и деформированного состояния равны. Следовательно

Уравнение связи напряжений и деформаций - (12), (17), (18), (19) получены таким образом на основе деформационной теории пластичности.

На основе теории пластичности течения устанавливают связь междунапряжение и скоростями деформации. Предпосылки для этого те же, что и для установления связи напряжений и деформаций: пропорциональнодевиатору напряжений скоростей деформации

Геометрическое подобие диаграмм Мора для напряжений и скоростей деформаций и условие постоянства объема

Коэффициент пропорциональности и - это модуль скорости пластической деформации первого и второго вида.

Аналогично уравнение (15) и (16) запишем интенсивность нормальных напряжений

Эти уравнения используются в одном из аналитических методов исследования напряжений деформированного состояния, которой называется - метод сопротивления материала пластической деформации, которая была разработана Смирновым-Аляевам.

Похожие статьи




Уравнения связи между напряжениями и скоростями деформации, полученные на основе теории пластического течения - Уравнения пластического состояния деформируемых твердых тел

Предыдущая | Следующая