ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ПЛОЩАДОК - Коэффициент запаса прочности

Рассмотрим обратную задачу. Даны нормальные и касательные напряжения, действующие по граням элемента (рис. 2.28, А). Требуется определить положение главных площадок и величину главных напряжений. Рассмотрим равновесие трехгранной призмы с основанием АВС (рис. 2.28, Б). Примем, что ?? > ??. Угол ? Будем отсчитывать от направления большего напряжения до нормали к площадке. За положительное направление отсчетов угла ? примем направление против

Часовой стрелки. Площадь наклонной грани обозначим через DF. Тогда площадь вертикальной грани будет DF Sin ?, А горизонтальной -- DF Cos ?.

Проектируя все силы на направление ??, получим

Проектируем теперь все силы на направления ??

Сократив на DF И введя функции двойных углов, получим:

(14)

(15)

При изменении угла наклона площадки ? величина ?? будет непрерывно изменяться.

Чтобы отыскать положения главных площадок, т. е. площадок, на которых действуют экстремальные нормальные напряжения, следует либо приравнять нулю производную , Либо приравнять нулю касательные напряжения ??, так как на главных площадках касательных напряжений нет.

В обоих случаях получаем следующую зависимость для определения угла ?0 наклона главных площадок:

Или

(16)

Для получения экстремальных значений нормальных напряжений, т. е. величин главных напряжений, значение угла из формулы (16) подставим в формулу (14). Предварительно тригонометрические функции в формуле (14) следует выразить через тангенс двойного угла. Для этого используют известные формулы тригонометрии:

После несложных преобразований, которые необходимо сделать учащемуся самостоятельно, получим следующую Формулу для определения величин главных напряжений

(17)

Если одно из заданных нормальных напряжений равно нулю, то формула (17) упростится и примет вид

(18)

Этой формулой будем пользоваться в дальнейшем при изучении изгиба и сложного сопротивления.

Исследуя вторую производную можно убедиться, что на

Главной площадке под углом ?0 при принятых условиях (??>??) действует максимальное главное напряжение, а на площадке под углом ?0+ 90°- действует минимальное главное напряжение.

Похожие статьи




ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ПЛОЩАДОК - Коэффициент запаса прочности

Предыдущая | Следующая