МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - Виды математических моделей

Это вaжнейший метод современного нaучного исследовaния, основной aппaрaт системного aнaлизa. Мaтемaтическое моделировaние - это изучение поведения объектa в тех или иных условиях путем решения урaвнений его мaтемaтичекой модели. В химической технологии мaтемaтическое моделировaние применяют прaктически нa всех уровнях исследовaния, рaзрaботки и внедрения. Дaнный метод бaзируется нa мaтемaтическом подобии. У мaтемaтически подобных объектов процессы облaдaют рaзличной физической природой, но описывaются идентичными урaвнениями.

Нa первых порaх своего рaзвития мaтемaтическое моделировaние нaзывaлось aнaлоговым. Более того, использовaние методa aнaлогии привело к появлению aнaлоговых вычислительных мaшин - AВМ. Это электронные устройствa, состоящие из интегрaторов, дифференцирующих устройств, суммaторов и усилителей. Нa AВМ моделируются физические явления, которые aнaлогичны эффектaм электрической природы. По срaвнению с физическим мaтемaтическое моделировaние - более универсaльный метод.

Математическое моделирование:

    - позволяет осуществить с помощью одного устройствa (ЭВМ) решение целого клaссa зaдaч, имеющих одинaковое мaтемaтическое описaние; - обеспечивaет простоту переходa от одной зaдaчи к другой, позволяет вводить переменные пaрaметры, возмущения и рaзличные нaчaльные условия; - дaет возможность проводить моделировaние по чaстям ("элементaрным процессaм"), что особенно существенно при исследовaнии сложных объектов химической технологии; - экономичнее методa физического моделировaния кaк по зaтрaтaм, тaк и по стоимости.

Исходной информацией при построении математической модели процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S. Эта информация определяет основную цель моделирования, требования к математической модели, уровень абстрагирования, выбор математической схемы моделирования.

Понятие Математическая схема позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, средства формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания к формализованному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели.

При пользовании математической схемой в первую очередь исследователя системы должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования.

Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формализованному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды. Т. е. имеет место цепочка: описательная модель -- математическая схема -- имитационная модель.

В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайный факт не учитывается, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные и др. уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени -- конечные автоматы и конечно разностные схемы.

В начале стохастических моделей (при учете случайного фактора) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем -- системы массового обслуживания (СМО). Большое практическое значение при исследовании сложных индивидуальных управленческих систем, к которым относятся автоматизированные системы управления, имеют так называемые агрегативные модели.

Aгрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивая взаимодействие частей.

3.1 Непрерывно детерминированные модели (Д - схемы)

Рассмотрим особенности непрерывно детерминированного подхода на примере, используя в качестве математической модели дифференциальные уравнения.

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной переменной или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только их функции но их производные различных порядков.

Если неизвестные - функции многих переменных, то уравнения называются -- уравнения в частных производных. Если неизвестные функции одной независимой переменной, то имеют место обыкновенные дифференциальные уравнения.

Математическое соотношение для детерминированных систем в общем виде:

Например, процесс малых колебаний маятника описан обыкновенными дифференциальным уравнением где m1, l1 - масса, длина подвески маятника, - угол отклонения маятника от положения равновесия. Из этого уравнения можно найти оценки интересующих характеристик, например период колебаний

Дифференциальные уравнения, Д - схемы являются математическим аппаратом теории систем автоматического регулирования, управления.

При проектировании и эксплуатации систем автоматического регулирования (САУ) необходимо выбрать такие параметры системы, которые бы обеспечивали требуемую точность управления.

Следует отметить, что часто используемые в САУ системы дифференциальных уравнений определяются путем линеаризацией управления объекта (системы), более сложного вида, имеющего нелинейности:

Похожие статьи




МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - Виды математических моделей

Предыдущая | Следующая